Morsomt integral

[Lord X]

Denne er vel ikkje spesielt vanskeleg, men litt morsom likevel.

La n vere eit heiltal større enn eller lik null. For kvar n ser vi på integralet [tex]I_{n}[/tex] definert ved:

[tex]I_{n}:=\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-t}\,dt[/tex]

Det går også an å skrive [tex]I_{n}[/tex] på ein annan form, som ein funksjon av n. Finn denne formelen og bevis han.

[Janhaa]

[tex]I_n=-\int_0^{\infty}t^n\,d(e^{-t})=-[t^ne^{-t}]_0^{\infty}+n\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}\,dt=n(n-1)(n-2)\cdot\,...\,\cdot 2\cdot 1=n!=\Gamma(n+1)[/tex]

[Nebuchadnezzar]

*Host* Peke på integraltråden *kremt*

[tex]I_n \,=\, \int_0^\infty t^n e^{-t}\mathrm{d}t \,=\, \left[ - t^n e^{-t} \right]_0^\infty - \int_0^\inft - t^{n-1} e^{-t} \mathrm{d}t \,=\, n \cdot I_{n-1}[/tex]

Bruker vi denne sammenhengen på [tex]n-1[/tex] får vi

[tex]I_{n} \,=\, n \cdot I_{n-1} \,=\, n(n-1) \cdot I_{n-2} \,=\, \ldots \,=\, n! \cdot I_1[/tex]

Hvor
[tex]I_{1} \,=\, \int_0^\infty t^1 e^{-t}\mathrm{d}t \,=\, \Bigl[ - t e^{-t} + e^{-t} \Bigr]_0^\infty \,=\, 1[/tex]

Evnt bare bruke definisjonen av gammefunksjonen..

Induksjonsbviset får noen andre ta seg av

[Lord X]

*Host* Peke på integraltråden *kremt*

Meiner du tråden "integral maraton"? Uansett, eg har ikkje oversikt over alle mulige tråder her på forumet altså!

Ellers er det sjølvsagt heilt riktig at [tex]I_{n}=n![/tex] (og det var meininga å vise det uten å bruke kjennskap til Gammafunksjonen)