Funksjon:finne hvor f veks og synker

[Piraya for matte]

[tex]f(x) = \frac {ln x}{x^2}[/tex]

Skal bestemme kor f veks og synk og ekstremalpunkt.

Deriverer vha brøkregelen: (u`x* vx - ux *v`x)\v^2:

[tex]F`(x)=\frac {1/x*x^2 - lnx *2x}{x^4}= \frac{x-2lnx}{x^4}[/tex]

Men korleis ser ein når f stiger og synk? Noko med at ein set x=0?

[Aleks855]

Nei, du setter f'(x)=0, og finner ekstremalpunkter. Derfra er det veldig lett å avgjøre når f synker eller stiger.

[Janhaa]

[tex]f(x) = \frac {ln x}{x^2}[/tex]
Skal bestemme kor f veks og synk og ekstremalpunkt.
Deriverer vha brøkregelen: (u`x* vx - ux *v`x)\v^2:
[tex]F`(x)=\frac {1/x*x^2 - lnx *2x}{x^4}= \frac{x-2lnx}{x^4}[/tex]
Men korleis ser ein når f stiger og synk? Noko med at ein set x=0?

husk:

[tex]\frac{x-2x \ln x}{x^4}=0[/tex]

[Piraya for matte]

[tex]\frac{x-2 \ln x}{x^4}=0[/tex]
Altså løyse som ein likning?
Blir det [tex]x=\frac{1}{2 lnx*x^4}[/tex]?

[Aleks855]

Nei, du kan ikke ha x som en funksjon av x. Det du er ute etter er x = et eller annet tall som gjør at hele den deriverte blir lik null.

Og husk det Janhaa skriver. Det er ikke 2lnx, men 2xlnx.

[Piraya for matte]

Som i [tex]f`(??)= 0[/tex] .Definisjonsområde er 0<x > eller lik 2.
Korleis finn ein funksjonsverdien der f`(x) = 0?

[Aleks855]

[tex]f(x) = \frac {ln x}{x^2}[/tex]
Skal bestemme kor f veks og synk og ekstremalpunkt.
Deriverer vha brøkregelen: (u`x* vx - ux *v`x)\v^2:
[tex]F`(x)=\frac {1/x*x^2 - lnx *2x}{x^4}= \frac{x-2lnx}{x^4}[/tex]
Men korleis ser ein når f stiger og synk? Noko med at ein set x=0?

husk:

[tex]\frac{x-2x \ln x}{x^4}=0[/tex]

[tex]f^,(x) = 0[/tex] gir [tex]x=\sqrt e[/tex]

Dette er bare vanlig likningsløsing.

Nå trenger du bare å finne ut hvorvidt grafen stiger eller synker fra dette punktet.

[Piraya for matte]

Og det ser man ved at f`x er større eller mindre enn null, der større blir voksande?

[Aleks855]

Og det ser man ved at f`x er større eller mindre enn null, der større blir voksande?

Nemlig!

[Piraya for matte]

Ok. Så fordi f er definert innen eit lukka interval så har funksjonen ein max og minimumverdi innen dette intervallet. Men korleis går ein fram for å finne desse max og min verdiene? Df = 0<x<=2

[Aleks855]

Den første finner du ved å undersøke om det finnes et ekstremalpunkt i intervallet.

Vi fant ut at ved [tex]x=\sqrt e[/tex] så har vi et ekstremalpunkt.

Men vi vet ikke om det er et toppunkt eller bunnpunkt sånn uten videre. Har du en idé til hvordan vi kan finne ut dette?

[Piraya for matte]

Ved å finne funksjonsverdien til det andre endepunktet innen intervallet, som er x=2?

[Aleks855]

Ja, for eksempel. Da ser vi at [tex]x=\sqrt e[/tex] er et toppunkt. Da vet vi hva som er den høyeste verdien i intervallet.

Men f(2) er jo ikke det som gir den laveste verdien.

Prøv å sjekke funksjonen der [tex]x < \sqrt e[/tex] også

[Piraya for matte]

aha, du meiner f(x)=0 blir globalt minimumspunkt, f(X)=roten av e blir globalt toppunkt, og f(x)= 2 blir lokalt minimumspunkt.

[Aleks855]

Nei, nå blander du. f(x) = 2 er ikke det samme som f(2).

Faktisk så eksisterer ikke f(x) = 2 for denne funksjonen. Ikke for reelle verdier av x, i alle fall.

Det jeg mener er at hvis du tegner grafen, så vil du se at grafen synker på begge sider av [tex]x=\sqrt e[/tex]. Og merk at dette er IKKE det samme som [tex]f(x) = \sqrt e[/tex].

Det vi ser, hvis vi tegner grafen er at til venstre for [tex]x=\sqrt e[/tex], så synker grafen ned til [tex]-\infty[/tex]. Dette er dog ikke en verdi vi kan nå, og derfor ikke et punkt.

Hvis vi beveger oss mot høyre, så vil f(2) være et lokalt minimumspunkt. Men igjen, dette er IKKE det samme som f(x) = 2.