Kompleks ligning

[laustr]

Oppgaven er som følger:
a) Finn alle komplekse løsninger av ligningen [tex](1+z)^5=(1-z)^5[/tex]
for eksempel uttrykt ved [tex]w=e^{\frac{2\pi i } {5}}[/tex]
b) Finn alle komplekse løsninger av ligningen [tex](1+z)^n=(1-z)^n[/tex]
c) Vis at alle løsningene i b) alle ligger på en rett linje i det komplekse planet.

a) Jeg ser lett at [tex]z=0[/tex] er en løsning, men vet ikke hvordan jeg skal finne de andre.

Noen som har peiling på hva som kan bli gjort her?

[Vektormannen]

For [tex]z \neq 1[/tex] kan vi dele på begge sider med [tex](1-z)^5[/tex]. Da har du ligningen [tex]\left(\frac{1+z}{1-z}\right)^5 = 1[/tex]. Ser du hvordan du kan gå videre nå?

[laustr]

Nei, fikk ikke det til alikavel

[Vektormannen]

Du kan la [tex]w = \frac{1+z}{1-z}[/tex]. Da har du ligningen [tex]w^5 = 1[/tex]. Den kan du løse, ikke sant? Deretter er resten snakk om å løse [tex]w = \frac{1+z}{1-z}[/tex] for z.

[laustr]

Yes, fikk den til.
Takk, Vektormannen! Your're my hero!

[Brahmagupta]

Du kan faktisk også ta femteroten direkte, men da må man også huske å ta femteroten av 1 på en av sidene. Det gir dermed de 5 løsningene. Dette er selvfølgelig ekvivalent med å dele og deretter ta femteroten.

[Gustav]

b)

[tex](1+z)^n=(1-z)^n[/tex]

Triks som Brahmagupta nevner for å få med alle løsninger er å gange den ene sida med en slags generell form for tallet 1. Man kan deretter ta nte-roten på begge sider

[tex](1+z)^n=(1-z)^ne^{2\pi mi}[/tex] , der [tex]m\in\mathbb{Z}[/tex]

c) Hint: Siden z=0 er en løsning må løsningene ligge på en rett linje gjennom origo. Det betyr at dersom du skriver løsningene på polar form [tex]Re^{\theta i}[/tex] skal vinkelen [tex]\theta[/tex] være den samme for alle løsningene.