Logaritmisk derivasjon

[Draugsvoll]

Begynte akurat å jobbe med emnet og fikk til første oppgave, men denne får eg ikke til å stemme med fasiten. Skjønner ikke helt fasiten heller siden det opprinnelige utrykket mister +1 i potensen når f(x) skal flyttes over til høyre side.

f(x) = x^(2x+1)

f'(x) = ?

[Go_Rilla]

ln y = ln x^(2x+1)

ln y = (2x+1) * ln x

Derivasjon:

(1/y) = 2 ln x + (2x+1) * ln x

(1/y) = 2 ln x + ((2x+1)/x)

dy/dx = y * (2 ln x + ((2x+1)/x)

dy/dx = x^(2x+1) * ((2 ln x + (2x+1)/x))

edit: så vektormannen online og fikk ikke lest skikkelig

Får å få svaret:

x^(2x+1) * ((2x lnx)/x)+(2x+1)/x)

Så bruker man potensregelen, det blir minus 1 her, altså (x^(2x+1-1) fordi det er delt på x)

Altså:
x^(2x) * ((2x * ln x) + 2x + 1))

[dan]

Dette kan sikkert gjøres eksplisitt også, prøv å bruk at

[tex] D[f] = f*D[ln(f)] [/tex]

[Draugsvoll]

Jeg kom fram til svaret du hadde før edit. Er det riktig svar? bare at det andre et mer detaljert og bedre? Skjønte ikke helt hva som skjedde der for å være ærlig. Men takker for kjapt svar

[Go_Rilla]

Hei

Jeg er også en førsteårs-student og du må nok spørre en lærer. Jeg vil si at det er korrekt. Du får i hvertfall samme svar med x=2. Man kan jo prøve med induksjonsbevis da.

Og det hele var rett og slett at det var opphøyd i (-1) og dermed kunne man bruke potensregelen på det. Det ser bare bedre ut.

[dan]

f(x) = x^(2x+1)
f'(x) = x^(2x+1)*D[ln(x^(2x+1))]
= x^(2x+1)*D[(2x +1)ln(x)]
=x^(2x+1)*(2ln(x) +(2x +1)/x)

[Gustav]

Logaritmisk derivasjon går ut på å utnytte at

[tex]\frac{df(x)}{dx}=f(x)\cdot\frac{ d\ln(f(x))}{dx}[/tex]. (i Leibniz´ notasjon)

Samme "formel" i annen notasjon er

[tex]f^,(x)=f(x)(\ln(f(x)))^,[/tex] eller

[tex]Df=f\cdot D\ln(f)[/tex], hvor D står for derivasjonsoperatoren (derivasjon mht. argumentet til funksjonen f).

Logaritmisk derivasjon er typisk anvendbart på funksjoner der "x" er i eksponenten.

Generelt, for funksjoner på formen

[tex]f(x)=g(x)^{h(x)}[/tex], blir

[tex]f^,=f\cdot (\ln(f)^,=g^h\cdot \ln(g^h)^,=g^h(h\cdot \ln(g))^,=g^h(h^,\ln(g)+h\frac{g^,}{g})[/tex].