Bestemme grenseverdi

[Fanboy]

Prøvde meg på L'Hopital og lurer på om man må gjøre noe "spesielt" for å derivere telleren? Klarer bare å få den til å bli null når jeg setter inn null etter jeg har derivert

[2357]

[tex]\left( (x^2 - 9) \sin(5x) \right)^\prime = 2x \sin(5x) + (x^2 - 9) \cdot 5 \cos(5x)[/tex]

Alle leddene bortsett fra [tex]-45 \cos(5x)[/tex] blir null når [tex]x=0[/tex].

[Fanboy]

Det vil da si at med L'Hopitals regel blir svaret -15 og ikke 1?

[2357]

Grensen er -15 uansett hvordan du angriper den, så ja.

[Fanboy]

Mange takk!

[Fanboy]

Så var det C)

Hvordan går jeg fram får å derivere telleren der? sliter litt med å blant annet finne ut hva jeg skal gjøre med absoluttverdien...

[svinepels]

Er nok ikke så lurt på bruke L'hopital der, absoluttverdien er nemlig ikke deriverbar. Se på grenseverdien hvor x nærmer seg tre fra venstresiden, og grenseverdien hvor x nærmer seg fra høyresiden, hver for seg. Sjekk etterpå om de er like hverandre, hvis de i det hele tatt eksisterer.

Når du gjør dette kan du nemlig fjerne absoluttverdien. For å ta et eksempel som ikke har noe med oppgaven å gjøre, så er

[tex]\lim_{x \to 2-} \frac{|x-2|}{x-2} = \lim_{x \to 2-} \frac{-(x-2)}{x-2} = -1[/tex]

mens

[tex]\lim_{x \to 2+} \frac{|x-2|}{x-2} = \lim_{x \to 2+} \frac{x-2}{x-2} = 1[/tex]

så [tex]\lim_{x \to 2}[/tex] eksisterer ikke.

[Fanboy]

I eksempelet ditt, blir det ikke 0 over 0 når du setter inn 2? Det blir vel ikke 1 og -1 da, eller?

[svinepels]

Er det rart at grenseverdien blir 1 eller -1 selv om det er et 0/0-uttrykk? Poenget er jo at 0/0-uttrykk kan ha hva som helst som grenseverdi.

[Fanboy]

hm, okei, puttet inn spørsmålet her: http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... ^2%29-9%29 er dette rett? evt hvordan kom den fram til det svaret?

[svinepels]

[tex]\frac{|3-x|e^{2x}}{x^2-9} = \frac{|x-3|e^{2x}}{(x+3)(x-3)}[/tex]

For x > 3 har vi

[tex]\frac{|x-3|e^{2x}}{(x+3)(x-3)} = \frac{(x-3)e^{2x}}{(x+3)(x-3)} = \frac{e^{2x}}{x+3}[/tex]

for x < 3 har vi

[tex]\frac{|x-3|e^{2x}}{(x+3)(x-3)} = \frac{-(x-3)e^{2x}}{(x+3)(x-3)} = -\frac{e^{2x}}{x+3}[/tex]

Sjekker du nå høyre- og venstre-grenseverdiene hver for seg?

[Fanboy]

Aha, nå gikk det endelig opp et lys her, tror faktisk jeg skjønner konseptet nå! Takk for at du gidder å hjelpe svinepels!

[Fanboy]

Skal man forresten sjekke de hver for seg (fra venstre og høyre) uansett?

Edit: eller bare når det er med absoluttverdi?

[svinepels]

Er en lur teknikk når man har med absoluttverdi å gjøre, men kan godt tenkes det er andre situasjoner hvor man også tjener på å bruke den.

Er ikke noe man generelt trenger å gjøre nei.

[Fanboy]

Okei, takk!



Noen som kan hjelpe meg litt på vei her? Må jeg sjekke lim x -> 0- og lim x -> 0+ ?