Oppgave 1g), R1 våren 2011

[malef]

Ei linje l har parameterframstillinga

x=1+2t
y=2+t

Eit punkt P (4,1) ligg utanfor linja.
Rekne ut avstanden frå P til linja l.

Forestiller meg at fremgangsmåten er å finne vektoren fra linja til P slik at skalarproduktet=0. Men hvordan setter man opp et slikt stykke?

[Vektormannen]

Det stemmer, skalarproduktet mellom vektoren fra P til (x,y) = (1+2t, 2+t) og retningsvektoren til linja må være 0. Setter du du opp så får du en ligning som gir parameterverdien til det punktet på linja som er slik at vektoren står normalt på linja, og da antar jeg du kan finne avstanden?

[Janhaa]

Ei linje l har parameterframstillinga
x=1+2t y=2+t
Eit punt P (4,1) ligg utanfor linja.
Rekne ut avstanden frå P til linja l.
Forestiller meg at fremgangsmåten er å finne vektoren fra linja til P slik at skalarproduktet=0. Men hvordan setter man opp et slikt stykke?

eller
[tex](-3+2t)^2 + (1+t)^2=d^2[/tex]

[tex]d=\sqrt{(-3+2t)^2 + (1+t)^2}=d[/tex]

så deriver d, for å finne min d, d[sub]min[/sub]
):
[tex]t=1[/tex]
og
[tex]d=\sqrt5[/tex]

[malef]

Problemet mitt er vektoren fra (xy) til P, som vel må bli [4-x, 1-y]. Jeg får rett og slett ikke satt opp ligningen. [tex][4-x, 1-y]\cdot[1+2t, 2+t]=0[/tex] leder vel ikke noe sted?

[Vektormannen]

Her tenker du litt feil. Det du skal sette opp er at skalarproduktet mellom vektoren fra P til et punkt som ligger på linja og retningsvektoren til linja skal være 0. Et punkt på linja har ikke helt ukjente x- og y-koordinater, men derimot koordinater som avhenger av parameteren t. Det vil si at vektoren vil være gitt ved [tex][4 - x, 1-y] = [4-(1+2t), 1-(2+t)] = [3-2t, -1-t][/tex]. Hva blir en mulig retningsvektor for linja?

[malef]

Det har jeg lurt litt på også. Linja har stigningstall 1/2. Mulig jeg er helt på jordet nå, men da kan man vel skrive vektoren som t[2,1]?

[Vektormannen]

Du er inne på noe der, men retningsvektoren (eller rettere sagt, én av mange retningsvektorer) til linja er bare vektoren [2,1] (uten t.)

Husk at parameterfremstillingen til en linje gjennom et punkt P og i retning langs vektoren [tex]\vec{v}[/tex] er på formen [tex]\vec{r}(t) = \vec{OP} + t \vec{v}[/tex]. Ut fra dette kan vi også lese retningsvektoren [2,1] ved å sammenligne med den oppgitte fremstilningen.

Uansett, ligningen du skal sette opp blir da altså [tex][3-2t, -1-t] \cdot [2,1] = 0[/tex]. Går det greit å finne avstanden da?

[malef]

Forstår jeg deg rett når jeg sier at vi kan se retningsvektoren av

x=1+2t
y=2+t

rett og slett ved å se på koeffisienten til t?

O er vel det punktet på linja som går ned til P. [tex]\vec{OP}[/tex] blir altså [tex][4-(1+2t), 1-(2+t]=[3-2t, -1-t][/tex].
[tex][4-(1+2t), 1-(2+t]=[3-2t, -1-t] \cdot [2,1]=0[/tex]
[tex]6-4t+(-1-t)=0[/tex]
[tex]5-5t=0[/tex]
[tex]t=1[/tex]

Setter inn:

[tex]x=1+t\cdot1=3 \\ y=2+1=3[/tex]

[tex]|\vec{PO}|=\sqrt{(3-4)^2+(3-1)^2}=\sqrt{5}[/tex]

Det ser ut til å bli riktig?

[ZizouJR]

Slik jeg løste den i hvertfall:)

[Vektormannen]

Det er korrekt ja.

Bare for å klare opp en ting så er [tex]\vec{OP}[/tex] posisjonsvektoren til punktet P, det var i alle fall det jeg mente i forrige post. Du kan f.eks. kalle punktet på linja for Q, og da vil [tex]\vec{PQ}[/tex] være den vektoren du mener er [tex]\vec{OP}[/tex]. Men regningen er altså korrekt.

Forstår du hvordan Janhaa sin metode fungerer?

Det er rett og slett slik at du kan se retningsvektoren fra koeffisientene ja.

[malef]

Jeg har tegnet litt i GeoGebra nå ... Han setter altså opp d(t). Hadde dette vært del 2 hadde han ikke trengt å derivere, siden han kunne sett bunnpunktet av grafen. Men nå deriverer han altså for å finne bunnpunktet, som angir parameteren for avstanden fra linja til P.



Har jeg skjønt metoden?

[Vektormannen]

Ja, det stemmer det

Merk at du kan spare deg litt tid ved å derivere og finne ut når [tex]d^2[/tex] er minst, i stedet for å se på [tex]d[/tex]. Da unngår du kvadratroten.

[malef]

Det vare lurt! (Skjønte det etter en ny graf i GeoGebra )

Nå er det så kort tid til eksamen at vektormetoden nok kjennes litt "tryggere". Og om jeg skulle glemme den også, skal jeg i alle fall huske hvordan man leser ut retningsvektoren av parameterfremstillingen!

Tusen takk for kjempegod hjelp!

[Vektormannen]

Parameterfremstilling er egentlig ikke noe hokus pokus! Vi har en linje, og vi ønsker å beskrive alle punkter på denne. En linje er helt entydig bestemt av to ting: et fast punkt P som den skal gå gjennom og retningen [tex]\vec{v}[/tex] den skal peke i. Hvis vi står i punktet P kan vi da gå langs vektoren [tex]\vec{v}[/tex] for å komme til et hvert punkt på linja. Hva blir da uttrykket til et generelt punkt Q på linja? Jo:

[tex]\vec{OQ} = \vec{OP} + t \cdot \vec{v}[/tex]

Altså -- posisjonsvektoren til punktet Q får vi ved å først gå til punktet P (det er [tex]\vec{OP}[/tex]), og så gå et ønsket antall lengder, [tex]t[/tex], av retningsvektoren [tex]\vec{v}[/tex] -- dvs. [tex]t \vec{v}[/tex]. Dette er da parameterfremstillingen til linja. I ditt tilfelle er da [tex]\vec{OP} = [1,2][/tex] og [tex]\vec{v} = [2,1][/tex].

[malef]

Hver av koordinatene inneholder altså 1. informasjon om et eller annet punkt på en linje og 2. informasjon om retningsvektoren (som er en annen måte å uttrykke linjas stigningstall på?

Parameterfremstillingen
x=1+2t
y=2+t

kan altså dissekeres til p(1,2) og [2,1], mens t ikke betyr noe annet enn at lengden på retningsvektoren varierer med punktenes plassering?

Blir masing og teskjeer nå, men jeg tror jeg er på sporet av å skjønne noe