Løs likningen:
[tex]2^x\,+\,1\,=\,5^y[/tex]
for
[tex]x,y \in \mathbb Z^+[/tex]
Likning (vgs/1. året høyskole/UNI)
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
[tex]2^x+1=5^y[/tex]
[tex]2^x=5^y-1=(5-1)(5^{y-1}+5^{y-2}+...+1)[/tex]
For [tex]y\geq 2[/tex] så vil parentesen til høyre være større enn en. Merk at i denne parentesen er det y antall ledd. Derfor vil parentesen summere til et oddetall for odde y, hvilket er umulig siden venstre siden ikke har noen odde faktorer. Dette medfører at y må være partall for [tex]y\geq 2[/tex] Setter y=2n
[tex]2^x=5^{2n}-1\qquad mod(3)[/tex]
[tex]2^x=((-1)^2)^n-1=0\qquad mod(3)[/tex]
Men siden høyresiden ikke deler 3 vil det ikke finnes noen løsninger for [tex]y\geq 2[/tex]
Ved å sjekke mulighetene for y lik 1 og 0 finner man eneste løsning
(x,y)=(2,1)
[tex]2^x=5^y-1=(5-1)(5^{y-1}+5^{y-2}+...+1)[/tex]
For [tex]y\geq 2[/tex] så vil parentesen til høyre være større enn en. Merk at i denne parentesen er det y antall ledd. Derfor vil parentesen summere til et oddetall for odde y, hvilket er umulig siden venstre siden ikke har noen odde faktorer. Dette medfører at y må være partall for [tex]y\geq 2[/tex] Setter y=2n
[tex]2^x=5^{2n}-1\qquad mod(3)[/tex]
[tex]2^x=((-1)^2)^n-1=0\qquad mod(3)[/tex]
Men siden høyresiden ikke deler 3 vil det ikke finnes noen løsninger for [tex]y\geq 2[/tex]
Ved å sjekke mulighetene for y lik 1 og 0 finner man eneste løsning
(x,y)=(2,1)