Rekker og følger konvergeringsområdet

[miyukii]

1 a) Finn konvergeringsområdet for den uendelige rekken
1 + 2r + r[sup]2[/sup] + 2r[sup]3[/sup] + r[sup]4[/sup] + 2r[sup]5[/sup] + r[sup]6[/sup] + ....
Legg merke til at det er forskjellige kvotienter, fordi det er to rekker satt sammen.
b) Utrykk summen av den uendelige rekken som en funksjon av r når den konvergerer.

[ettam]

...og hva lurer du på?

Hva får du til selv?

[miyukii]

Jeg lurer på hvordan jeg skal finne konvergeringsområdet og summen, for jeg klarer bare å løse det hvis det bare er en kvotient i en rekke. Skal jeg løse f.eks. a som to oppgaver og sette det sammen til et svar?

[ettam]

Ble litt usikker selv her...

Men du har nok rett.

Jeg starter derfor litt her, så finner vi sikkert svaret sammen.

Jeg tenker sånn:

1a)

Den ene rekka har første ledd lik 1 den andre rekka har første ledd 2r. Deretter fortsetter rekkene "hver for seg" i annen hvert ledd.

Da kan vi skrive rekka slik:

[tex](1 + r^2 + r^4 +....) + (2r + 2r^2 + 2r^3 +...)[/tex]

Ser da at den første rekka har koefisienten: [tex]k_1 = r^2[/tex]
og den andre har koeffosienten: [tex]k_2= r[/tex]

For at første rekke skal konvergere må: [tex]-1 < r^2 < 1[/tex]
Den andre rekka konvergerer når: [tex]-1 < r < 1[/tex]

For at "hele rekka" (summen av begge) skal konvergere må begge betingelser være oppfylt "samtidig".

Stopper der, se om du klarer resten.

1b)

Summen av to konvergente rekker må være lik summen av hver av de to rekkene.

[Brahmagupta]

Hva med å skrive den som [tex]1+r^2+r^4+...+2r(1+r^2+r^4+...)[/tex]
og faktorisere slik: [tex](2r+1)(1+x^2+x^4+...)[/tex]
Da får man bare en geometrisk rekke å ta hensyn til.

[ettam]

Tenkte på det, men ville følge forslaget i oppgaveteksten.