Delbrøkoppspalting

[Jibr]

∫ 2x^2+x/(x^2+1)(x-1) dx


hva gjør jeg med X^2+1

[Fibonacci92]

Dersom du skal forsøke deg på delbrøksoppspalting må du skrive om uttrykket slik:

[tex] \frac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x^2+1} + \frac{Cx + D}{x^2+1}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Les innlegget som omhandler integrasjon av brøker

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 10&start=0

Ellers står det svært bra forklart her og:

http://lpsa.swarthmore.edu/BackGround/P ... ction.html

Men for å gi deg en veldig kort forklaring.
Du kan enten bruke imaginære tall slik at du får

[tex](x^2 + 1) = ( x - i)(x + i)[/tex] Og videre

[tex]\frac{2x^2+x}{(x-i)(x+i)(x-1)} = \frac{A}{x-i} + \frac{B}{x+i} + \frac{C}{x-1}[/tex]

Eller du kan skrive delbrøkoppspaltingen slik

[tex]\frac{2x^2+x}{(x-i)(x+i)(x-1)} = \frac{Ax + B}{x^2+1} + \frac{C}{x-1}[/tex]

[Jibr]

ok takk takk

[Nebuchadnezzar]

Fun fact

Dog kan også en dele opp brøken din uten å bruke delbrøkoppspaltingsteknikker.

Er kanskje litt over ditt hodet, men er ofte en veldig grei metode

Trikset er å manipulere teller slik at en kan stryke ting i teller.
Vi legger til å trekker fra ting slik at kabalen går opp. Jo mer en bedriver slike frekke ting, jo lettere er det å se det.

[tex]\frac{2x^2 + x}{(x^2+1)(x-1)}[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \frac{4x^2 + 2x}{(x^2+1)(x-1)}[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \frac{(3x^2 + 3) + (x^2 + 2x - 3)}{(x^2+1)(x-1)}[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \left[ \frac{3(x^2 + 1)}{(x^2+1)(x-1)} + \frac{ (x+3)(x-1)}{(x^2+1)(x-1)} \right] [/tex]

[tex]\frac{1}{2} \left[ 2\frac{x^2 + 1}{x-1} + \frac{x+3}{x^2+1} \right] [/tex]

Dog er det kanskje lettere med standard delbrøkoppspaltingsteknikker på din oppgave.

[Jibr]

Dersom du skal forsøke deg på delbrøksoppspalting må du skrive om uttrykket slik:

[tex] \frac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x^2+1} + \frac{Cx + D}{x^2+1}[/tex]

Hvordan kom du fram til det Fibonacci91..

[Fibonacci92]

Oisan. Her har jeg skrevet feil. Jeg mente selvfølgelig:

[tex]\frac{x}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}[/tex]

eller

[tex]\frac{2x^2+x}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}[/tex]

om det var det som var uttrykket du begynte med.

[Jibr]

Ja det stemmer, når jeg regnet videre på det så har jeg fått A tilå bli 3/2, og b til å bli 2 og c til å bli 2.

svaret blir tilslutt 7/2 ln(x^2+1)+ 3/2 ln(x-1)

Men virker som fasiten ikke er helt enig..?

[Fibonacci92]

Forsøk igjen med konstantene [tex]A= \frac{3}{2}, B= \frac{1}{2}, C=\frac{3}{2}[/tex]

Husk også at:

[tex]\int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{d} x = \tan^{-1}(x)[/tex]

[Jibr]

Jeg skrev litt feil, jeg fikk A=3/2, B=2 OG C=3/2

Men hvordan fikk du B til å bli 1/2

[Fibonacci92]

Du får
[tex]A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1) = 2x^2 + x[/tex]

ikke sant?

Dette gir ved å gange ut og trekke sammen

[tex](A+B)x^2 + (C-B)x + (A-C) = 2x^2 + x[/tex]

som igjen ved å sammenligne koeffisienter gir:

[tex](A+B) = 2[/tex]
[tex](C-B) = 1[/tex]
[tex](A-C) = 0[/tex]

[Jibr]

riktig, men det er altså ikke mulig å finne det ut på den andre måten ikke sant, der finner jeg A og C, men ikke B. Tenker på der jeg finner nullpunktene til x+1 og x-1.