Parameterframstilling for en skjæringslinje mellom to plan

[prasa93]

Tittelen sier det meste, hvordan finner vi den parameterframstillingen? Nytter vi oss at retningsvektorer / normalvektorer?

[Vektormannen]

Ja, vi gjør nok det

Skjæringslinja skal ligge i begge planene, ikke sant? Alt som ligger i et plan må danne en vinkel på 90 grader (dvs stå normalt på) normalvektoren til planet. Er du enig i det? Det betyr da at retningsvektoren til en skjæringslinje både må stå normalt på det ene planets normalvektor, og normalt på det andre planets normalvektor. Nå har du at retningsvektoren til linja skal stå normalt på to andre vektorer. Hvordan kan du finne en vektor som oppfyller det?

[prasa93]

Krysse de to planvektorene for å finne en vektor som står normalt på begge? Hvordan gjør man videre?

[Vektormannen]

Det stemmer, da har du retningsvektoren. Så er det å finne et punkt som du vet linja går gjennom. Når du har det så har du jo alt du trenger for å finne parameterfremstillingen. Punktet må nødvendigvis være et punkt som ligger i begge planene. Det er akkurat det samme hvilket du finner, så lenge det ligger i begge to. Å finne et slikt punkt er som regel ikke så vanskelig. Hvis f.eks. begge planene går gjennom origo (de har ikke noe konstantledd i planligningen), så vet du at origo vil være et slikt punkt. Andre ganger må du kanskje begynne å løse ligningssystemet som de to planenes ligninger utgjør.

[prasa93]

Ok, la oss se her nå. Vi har fire punkt A, B, C, og D, hvor planet X går gjennom A, B og C, mens Y går gjennom B, C og D. Når vi skal finne skjæringslinja l mellom planene finner vi først vektor AB, vektor AC og krysser dem, så vektor BC, vektor BD og krysser dem, og så krysser vi de to normalvektorene?

Vet ikke om jeg fatta helt. Hadde du gidda å vise meg med disse punktene:

A(1, 2, 1)
B(1, 1, 3)
C(-1, 1, -1)
D(1, -2, 1)

[Vektormannen]

Det du sier er helt riktig. Du finner normalvektorene til planene og krysser deretter disse for å finne retningsvektoren til skjæringsnlinja. Men i dette tilfellet er det liten vits i å gjøre det, for de to planene har jo to punkt felles, nemlig B og C. Da vil jo skjæringslinja nødvendigvis gå gjennom B og C, ikke sant? (En linje er jo entydig bestemt hvis du kjenner to punkt den går gjennom)

[prasa93]

Så vi trenger bare BC vektoren, som er [1, 0, 2] og ender opp med

x = 1 + t
y = 1
z = 3 + 2t

Utrolig hvor lett man kan gjøre ting i matte om man faktisk forstår prinsippene bak alt, og ikke bare - som meg - følger formler slavisk.

[Vektormannen]

Det har du helt rett i. Men det er jo bra at du innser dette! Jeg vil tro matten går en del enklere hvis du prøver å se sammenhenger mellom ting og prøver å forstå de underliggende prinsippene. Selv om norsk skole kanskje kan få det til å virke sånn, så er ikke matte et fag som dreier seg om å pugge formler og fremgangsmåter. Hvis du skjønner hvorfor formlene er som de er, blir det for det første mye enklere å huske dem (fordi de faller helt naturlig for deg), og det blir heller ikke så farlig om du ikke husker helt hvordan de var, for du kan ofte utlede dem på nytt selv.

Svaret er forresten helt rett.

[Elmindreda]

Hei.
Her ser jeg temaet mitt.. Sitter med en oppgave der jeg skal finne en retningsvektor for z-aksen.
Har to linjer p og q, med x, y og z-verdiene.
Hvordan finner jeg retningsvektoren for z-aksen?

[Vektormannen]

En retningsvektor til z-aksen vil være en vektor som peker langs z-aksen. Er du enig i at hvis du står i origo og tar ett steg i z-retning, så vil du være på punktet (0,0,1)? Dette punktet ligger på z-aksen. Vektoren [0,0,1] må da pekere i z-aksens retning. Hvis du er i tvil som sånne ting så kan det hjelpe stort å tegne en figur.

[Elmindreda]

Så det var det hele.. Nå har jeg skjønt det. Takk for forklaringen!

Så kommer jeg med flere spørsmål.
Har en trekant ABC med punktene A(1,7,-1), B(3,5,-1) og C(k+1, k+5, k)
Skal vise at trekanten er likebeint og har arealet √6k^2-4k+6

Har funnet vektorene AB og AC, høyden til trekanten, og brukt A=g*h/2 for å finne arealet, men fortsatt ikke kommet frem til riktig svar. Enten så har jeg feil høyde eller feil formel for å finne arealet.. Har også prøvd å bruke lengden av vektorene, ikke vektorene selv. Det hjalp lite.

Spørsmålet er da hva er høyden til trekanten og hvordan skal jeg regne ut arealet?

[Vektormannen]

Du har tenkt rett, men mest sannsynlig har du funnet feil høyde. Hvordan gikk du frem for å finne denne?

En annen måte å gå frem på, som kanskje er den de som laget oppgaven tenkte på, er å benytte at trekanten er likebeint. Da vet du nemlig at høyden ned fra punktet der de to like lange sidene møtes vil dele grunnlinja i to like store deler. Det gjør deg i stand til å benytte pytagoras for å finne den høyden, og deretter arealet.

[Elmindreda]

Jeg brukte Pytagoras for å finne høyden, men har visst gjort en feil i regningen..

Hvis vi sier at F er punktet som ligger midt på AB, så er vektoren AF lik 1/2 AB.
Og da er AC^2=AF^2+CF^2
Høres det riktig ut?
Kunne du vist meg regningen så ser jeg hvor feilen ligger?

[Nebuchadnezzar]

[tex]AC \ = \ [ k \, , \, k - 2 \, , \, k + 1 ] \qquad \qquad || AC || \ = \ \sqrt{3k^2-2k+5}[/tex]

[tex]AF \ = \ [ 1 \, , \, -1 \, , \, 0 ] \qquad \qquad || AF || \ = \ \sqrt{2}[/tex]

[tex]CF \ = \ \sqrt{AC^2 - AF^2} = \sqrt{3k^2-2k+3}[/tex]

[tex]A \ = \ \frac{1}{2} AB \cdot CF \ = \ \frac{1}{2} ||AB|| \cdot ||CF|| \ = \ \sqrt{2}\sqrt{3k^2-2k+7} \ = \ \sqrt{6k^2 - 4k + 6}[/tex]

[Elmindreda]

Jeg hadde kommet frem til CF nå, og med riktig svar denne gangen. Men satt fast igjen med arealet når jeg skulle regne den ut. Så man SKAL bruke lengden av vektorene, og ikke vektorene for å regne den ut.. Trodde egentlig ikke at jeg hadde tenkt riktig der.

Takk for hjelpen! Jeg kommer nok tilbake igjen.