Logaritmelikning

[malef]

Oppgave:
lg(x+2)=2 lg x

Løsning:
lg x + lg 2=lg x²

Når logaritmen til to tall er like, er tallene like. Vi kan altså sette opp følgende likning:

x+2=x²

Setter tallene inn i abc-formelen og får at x=2 eller x=-1. Siden logaritmen til et tall kun er definert når tallet er positivt, må svaret bli: x=2

Svaret stemmer med fasiten, så det er greit. Har imidlertid en følelse av at oppgaven skal kunne løses uten bruk av abc-formelen, og at jeg altså har gjort oppgaven unødvendig vanskelig. Stemmer det?

[malef]

Var visst litt raskt ute med spørsmålet. Ser hvordan det kan gjøres enkelt ved å trekke lg x fra 2 lg x ...

[Vektormannen]

Det ser ut som du antar at [tex]\lg(x+2) = \lg x + \lg 2[/tex]. Det stemmer ikke! Du benytter ikke det noe videre her, så det virker ikke inn på svaret, men det er altså feil. Du kan med en gang skrive at hvis to logaritmer er like så må tallene være like. Altså må [tex]x+2 = x^2[/tex]. Du trenger ikke gjøre noe før du sier det (og altså hvertfall ikke det du gjør her, som er feil!)

Ellers er oppgaven er riktig løst den. Du vil nok ende opp med å måtte løse den andregradsligningen uansett. Om du må benytte andregradsformelen for å løse den er en annen sak. Nebu her på forumet vil vel f.eks. ikke tilråde det

[Nebuchadnezzar]

Du er nok bare litt heldig at metoden din fungerer.
Det stemmer nemmlig ikke for alle a og b at

[tex]\log(a + b) \neq \log(a) + \log(b)[/tex]

"Regelen" vår sier derimot at

[tex] \log(ab) = \log(a) + \log(b) [/tex]

Så vi må nok bruke abc-formelen... (Som er en formel jeg aldri bruker, da det finnes mye mer effektive metoder. Men den diskusjonen lar vi ligge)

[tex]\lg(x+2)=2 \lg x [/tex]

[tex]10^{\lg(x+2)}=10^{\lg(x^2)} [/tex]

[tex]x + 2 = x^2[/tex]

Nå vet jeg ikke hvordan det er med deg, men jeg kan se løsningene på dette stykket fra begynnelsen av. Ved bare å tippe noen lette verdier =)

EDIT:

Likheten [tex]\log(a + b) = \log(a) + \log(b)[/tex]
stemmer kun dersom

[tex]b = \frac{a}{a-1}[/tex] og at [tex]a - 1 \neq 0[/tex] og [tex]a \neq 0[/tex]

Og i ditt tilfelle så har vi at at [tex]b=2[/tex] og [tex]a=x=2[/tex]

[malef]

"Regelen" vår sier derimot at

[tex] \log(ab) = \log(a) + \log(b) [/tex]

Takk skal dere ha! Jeg hadde visst klart å ignorere denne regelen

[Joalim]

Låner denne tråden litt istedenfor å starte en ny en.

Litt annerledes logaritmelikning, oppgaven ser slik ut;

[tex]ln(x^2+3x+1)=0[/tex]

Glemte matteboka på skolen, så vet ikke hvordan jeg skal gå frem for å løse den. Ser ganske enkel ut, men lite jeg kan gjøre uten å vite fremgangsmåten. :/

[Kork]

[tex]$$\ln \left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$${e^{\ln \left( {{x^2} + 3x + 1} \right)}} = {e^0}$$[/tex]
[tex]$${x^2} + 3x + 1 = {e^0}$$[/tex]

Logaritmen til z er det vi må opphøye e i for å få z.

[hooray]

Jeg hiver meg på lånetoget og slenger inn et spørsmål selv:

[tex](lgx)^3 - (lgx)^2 - 2lgx = 0[/tex]
Boka foreslår at jeg kaller lgx for U.
[tex]u^3-u^2-2u=0[/tex]
[tex]U(u^2-u-2)[/tex]
Så slenger jeg den inn i abc formelen og får:
[tex]x=2 \Downarrow x=-1[/tex]

[tex]lgx=2[/tex] eller [tex]lgx=-1[/tex]
[tex]10^{lgx}[/tex]=[tex]10^2[/tex] eller [tex]10^{lgx}[/tex]=[tex]10^{-1}[/tex]
x=100 eller x=0,1 ?

Setter tallene inn i abc-formelen og får at x=2 eller x=-1. Siden logaritmen til et tall kun er definert når tallet er positivt, må svaret bli: x=2

Dette trodde jeg selv, men fasiten sier at: x=100 eller
[tex]x=\frac{1}{10}, x=1[/tex]

Noen som kan forklare meg hvorfor jeg må ta det negative svaret i betraktning, og hvordan kan [tex]x=\frac{1}{10}[/tex] bli => x=1 ?

Takk for svar

[Fibonacci92]

Hvis jeg forstår deg riktig:

Likningen lg x = -1 har en løsning, og den er x = 1/10.

Det er mulig at logaritmen til et tall er negativ, men det du tenker på er at det ikke er mulig å ta logaritmen av et negativt tall.

F.eks. er lg(-5) ikke definert for reelle tall.
Men lg (1/5) = -2.32192809...

Så, en logaritme kan være negativ, men du kan ikke ta logaritmen av et negativt tall!

EDIT:

Dessuten må du huske at u = 0 også er en løsning av tredjegradslikningen du begynte med. Det er her du får løsningen x = 1 fra.

[hooray]

Takk for svar Fib =)
Men jeg klarer fortsatt ikke å se hvordan x=-1 kan bli x=1. :/

[mstud]

I orden at jeg "pynter" litt på det opprinnelige innlegget ditt for å vise?

[tex](lgx)^3 - (lgx)^2 - 2lgx = 0[/tex]
Boka foreslår at jeg kaller lgx for U.
[tex]u^3-u^2-2u=0[/tex]

Så langt, så godt...

[tex]U(u^2-u-2)[/tex]
Så slenger jeg den inn i abc formelen og får:
[tex]x=2 \Downarrow x=-1[/tex]

Det du skriver her er jeg ikke helt enig i, du skal nå ha:

[tex]u(u^2-u-2)=0[/tex] husk produktregelen som sier at når to produktet av to faktorer er 0, er enten den ene eller den andre 0.

Dvs. at du har nå to muligheter:

[tex]u^2-u-2=0[/tex] eller [tex]u=0[/tex]

Andregradsligningen løste du fint videre selv, men du må også ta med det andre alternativet her.

Og dersom u=0, når u=lg x, er lg x=0. Dvs. at [tex]x=10^0=1[/tex]

Her kommer x=1 inn i bildet.

[hooray]

Takk for at du kom med spiseskjeia mstud =D

Men bør ikke svaret kun bli:

x=100 eller x=1

Istedenfor

x=100 eller [tex]x=\frac{1}{10}, x=1[/tex] ?

[Nebuchadnezzar]

1. Svarene dine er alle sammen positive. Dette er et minimumskrav for at de skal løse likningen og det første (og enkleste) du bør sjekke

2. Sett inn svarene dine i likningen og se om det stemmer.

3. En tredjegradslikning har alltid enten en eller tre reelle løsninger. Du har funnet tre reelle løsninger. Dermed virker dette logisk.

[tex]u^2 - u - 2[/tex] gir to løsninger
[tex]u[/tex] gir en løsning

en + to = tre løsninger

[tex]u(u^2-u-2) = 0[/tex]

Behøver ikke abc formel her...

[tex]u(u+1)(u-2) = 0[/tex]

[tex]u = 0 \ V \ u+1 = 0 \ V \ u-2 = 0[/tex]

[tex]\log(x) = 0 \ V \ \log(x) = -1 \ V \ \log(x) = 2[/tex]

[tex]10^{\log(x)} = 10^0 \ V \ 10^{\log(x)} = 10^{-1}\ V \ e^{\log(x)} = 10^2[/tex]

[tex]x = 1\ V \ x = \frac{1}{100} \ V \ x = 100[/tex]

[hooray]

Ahh, tenkte ikke over at likningen faktisk var en 3.gradslikning, var derfor jeg stusset over at det ble 3 svar

Takk for svaret Neb!