Julesnadder 5: Ulikhet

[Gustav]

Vis at for alle naturlige tall n er

[tex]1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{7}{4}[/tex]

[Karl_Erik]

Er vel en for lett variant å argumentere for at som en funksjon av n øker venstresiden monotont mot [tex]\frac {\pi^2} 6 < \frac 7 4[/tex], så får heller gjøre dette fra grunnen av:

[tex]\sum_{i=1}^n \frac 1 {i^2} =1 + \frac 1 4 +\sum_{i=3}^n \frac 1 {i^2} <\frac 5 4 + \sum_{i=2}^n \frac 1 {i(i+1)}[/tex]. Det gjenstår nå kun å estimere summen, men det er lett: [tex]\frac 1 {i(i+1)} = \frac 1 i - \frac 1 {i+1}[/tex], så vi har [tex]\sum_{i=2}^n \frac 1 {i(i+1)} = \frac 1 2 - \frac 1 {n+1} < \frac 1 2[/tex], så [tex]\sum_{i=1}^n \frac 1 {i ^2} < \frac 5 4 + \frac 1 2 - \frac 1 n < \frac 7 4[/tex].

[Brahmagupta]

Noen som vet hvordan Euler klarte å bevise at rekken konvergerer mot [tex]\frac{\pi^2}6[/tex]? Eventuelt en link.

[Nebuchadnezzar]

Vektormannen lenket til en videoserie som viser dette, et nydelig bevis

Euler laget forsåvidt en funksjon, og viste at denne kunne bli skrevet som en rekke. Og denne rekken ved litt omforminger var lik dette her

Husker ikke så godt, for mye julebrus.

Men sjekk tråden til vektormannen, der er det en videoserie som viser dette bra

[Hoksalon]

Vektormannen lenket til en videoserie som viser dette, et nydelig bevis

Euler laget forsåvidt en funksjon, og viste at denne kunne bli skrevet som en rekke. Og denne rekken ved litt omforminger var lik dette her

Husker ikke så godt, for mye julebrus.

Men sjekk tråden til vektormannen, der er det en videoserie som viser dette bra

Har du link til emnet?

[Nebuchadnezzar]

*hic*

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=30714

19. Euler's Extraordinary Sum.avi [217MB]

Fant den på en sjørøverside ved navn btjunkie