Tall-triks

[LAMBRIDA]

Det er jul og det kunne passe med et tall-triks nå.
Det eneste du gjør er å tenke på et tall mellom 993 og 14 og dele det på 7, 11, og 13 og oppgi de 3 restene, så skal jeg finne ut kva tall du tenkte på.
Dette tall-trikset kan jeg forklare hemmeligheten med, men det kunne vært artig å prøvd først.

[Brahmagupta]

Jeg tror du kan finne tall mellom 1 og 1000 ved denne metoden, ikke begrenset mellom 14 og 993.

[LAMBRIDA]

Det ser ut for tallet må være mellom 993 og 14 etter min metode hvertfall.

[Karl_Erik]

Skal man presse grenser kan man til og med presse dem helt til tall fra og med 1 til og med 1001.

[LAMBRIDA]

Da begynner jeg å ane at det blir brukt en annen metode enn den jeg har.

[Karl_Erik]

"Min metode" går ut på å løse kongruenssettet x=a,b,c (mod 7,11,13) . Dette er ikke helt trivielt å gjøre (for meg) i hodet, så jeg er forsåvidt interessert i å høre en lur måte om du har en.

[LAMBRIDA]

Jeg multipliserer restene med henholdsvis 715, 364 og 924 og legg sammen de tre produktene.,Hvis resultatet blir et 4-sifret tall, trekkes det første sifferet fra de tre siste.,Da har vi det opprinnelige tallet.,Blir svaret et 5-sifret tall, trekkes de to første fra de 3 siste.

[Brahmagupta]

Ja, x=0 i den oppgitte kongruensen vil gi 1001, overså den Jeg tenkte også på samme metode.

[Karl_Erik]

Jeg multipliserer restene med henholdsvis 715, 364 og 924 og legg sammen de tre produktene.,Hvis resultatet blir et 4-sifret tall, trekkes det første sifferet fra de tre siste.,Da har vi det opprinnelige tallet.,Blir svaret et 5-sifret tall, trekkes de to første fra de 3 siste.

Stilig! Grunnen til at dette virker er at 715 er delelig med 11 og 13, og har en rest med 1 ved divisjon på 7, og tilsvarende er de to andre tallene delelig med to av 7,11 og 13, og har rest 1 ved divisjon på den siste. Dette betyr, om en er litt kjent med moduloregning, at [tex]715a+364b+924c[/tex], der a,b,c er de tre oppgitte restene, vil ha rest a ved divisjon på 7, rest b ved divisjon på 13 og så videre. Altså er det en løsning av kongruenssettet. Det betyr at om vi bare kan redusere det mod 1001 vil vi være nødt til å treffe riktig tall, og det er nettopp det som skjer når første sifre trekkes fra de siste, siden [tex]1000 \equiv -1 \pmod {1001}[/tex].

[prasa93]

Kan noen ta et eksempel? Ser kult ut, men forstår det ikke!

[LAMBRIDA]

Denne forklaringen er også bra.
La oss anta at det tenkes på tallet 821.,Den første divisjonen med 7 gir 2 i rest.,Den neste divisjonen med 11 gir 7 i rest.,Den siste divisjonen med 13 gir 2 i rest.
Regnestykket blir altså seende slik ut:
(715x2) + (364x7) + (924x2) : 1001
Altså 5826:1001 gir et resultat på 5 med 821 i rest - og det var jo det tallet som ble tenkt på.