Førjulssnadder 1

[Gustav]

Finn alle heltall a slik at (x-a)(x-10)+1 kan skrives som produktet (x+b)(x+c) for heltall b og c.

[Nebuchadnezzar]

Tja [tex]a=8[/tex] og [tex]a=12[/tex], mener jeg er alle løsningene.

[Karl_Erik]

Mener du alle heltall a slik at det finnes to heltall b, c slik at (x-a)(x-10)+1=(x+b)(x+c) for alle x, eller kan b, c variere med x?

[Brahmagupta]

Ved å gange ut parentesen får man følgende ligning:
[tex]x^2-x(10+a)+(10a+1)=0[/tex]

Skal denne ligningen ha heltallige røtter må uttrykket under rottegnet være et kvadrattall:
[tex]b^2-4ac=(10+a)^2-4(10a+1)=a^2-20a+96=(a-8)(a-12)[/tex]
Man har da de to åpenbare løsningen a=8 og a=12, hvor hele uttrykket blir 0. Siden 10 er delelig på 2 gir begge heltallige røtter.

Vil sjekke om det finnes noen andre verdier for a som gjør [tex](a-12)(a-8)=k^2[/tex]
setter: [tex]n=a-10[/tex] hvilket gir:
[tex](n+2)(n-2)=n^2-4=k^2[/tex]
[tex]n^2-k^2=4[/tex]
Siden man er ute etter heltallige løsninger får man at:
[tex]n+k+n-k=\pm 4[/tex]
[tex]n=\pm 2[/tex]
disse verdiene av n gir de allerede oppgitte verdiene av a, og disse er de eneste løsningene.

[Gustav]

Mener du alle heltall a slik at det finnes to heltall b, c slik at (x-a)(x-10)+1=(x+b)(x+c) for alle x?

Ja. Riktig tolket.

[Gustav]

Ved å gange ut parentesen får man følgende ligning:
[tex]x^2-x(10+a)+(10a+1)=0[/tex]

Skal denne ligningen ha heltallige røtter må uttrykket under rottegnet være et kvadrattall:
[tex]b^2-4ac=(10+a)^2-4(10a+1)=a^2-20a+96=(a-8)(a-12)[/tex]
Man har da de to åpenbare løsningen a=8 og a=12, hvor hele uttrykket blir 0. Siden 10 er delelig på 2 gir begge heltallige røtter.

Vil sjekke om det finnes noen andre verdier for a som gjør [tex](a-12)(a-8)=k^2[/tex]
setter: [tex]n=a-10[/tex] hvilket gir:
[tex](n+2)(n-2)=n^2-4=k^2[/tex]
[tex]n^2-k^2=4[/tex]
Siden man er ute etter heltallige løsninger får man at:
[tex]n+k+n-k=\pm 4[/tex]
[tex]n=\pm 2[/tex]
disse verdiene av n gir de allerede oppgitte verdiene av a, og disse er de eneste løsningene.

Selvsagt riktig løsning!

[Hoksalon]

Ved å gange ut parentesen får man følgende ligning:
[tex]x^2-x(10+a)+(10a+1)=0[/tex]

Skal denne ligningen ha heltallige røtter må uttrykket under rottegnet være et kvadrattall:
[tex]b^2-4ac=(10+a)^2-4(10a+1)=a^2-20a+96=(a-8)(a-12)[/tex]
Man har da de to åpenbare løsningen a=8 og a=12, hvor hele uttrykket blir 0. Siden 10 er delelig på 2 gir begge heltallige røtter.

Vil sjekke om det finnes noen andre verdier for a som gjør [tex](a-12)(a-8)=k^2[/tex]
setter: [tex]n=a-10[/tex] hvilket gir:
[tex](n+2)(n-2)=n^2-4=k^2[/tex]
[tex]n^2-k^2=4[/tex]
Siden man er ute etter heltallige løsninger får man at:
[tex]n+k+n-k=\pm 4[/tex]
[tex]n=\pm 2[/tex]
disse verdiene av n gir de allerede oppgitte verdiene av a, og disse er de eneste løsningene.

Jeg skjønner alt inntil du setter n = a - 10. Hvorfor gjør du det?

[Brahmagupta]

Jeg ser at [tex]a-12[/tex] og [tex]a-8[/tex] ligger symmetrisk om [tex]a-10[/tex].
Derfor kan man skrive om uttrykket ved konjugatsetningen:
[tex](a-12)(a-8)=((a-10)-2)((a-10)+2)=(a-10)^2-4=k^2[/tex]
[tex](a-10)^2-k^2=2*2[/tex]
[tex](a-10+k)(a-10-k)=2*2[/tex]
[tex]a-10+k=a-10-k=\pm 2[/tex]
Her kunne den største faktoren vært lik 4 og den minste 1 men dette ville ikke gitt en heltallig løsning, burde kanskje lagt til dette i den opprinnelige løsningen.
[tex]a-10+k+a-10-k=\pm 4[/tex]
[tex]2a=20\pm 4[/tex]
Hvilket gir a=8 og a=12
Den opprinnelige substitusjonen er bare for å slippe å skrive a-10 hele veien.