Førjulssnadder 4

[Gustav]

Vis at dersom [tex]x+\frac{1}{x}=2\cos(\theta)[/tex], så er [tex]x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos(n\theta)[/tex] for alle heltall n.

[Vektormannen]

EDIT: Beviset var ufullstendig da det bare tok hensyn til naturlige tall.

[Vektormannen]

Prøver å fikse det...

For n = 0 har vi opplagt at [tex]x^0 + \frac{1}{x^0} = 1 + 1 = 2 \cos(0)[/tex].

Per antagelse så er påstanden sann for n = 1. Anta at den er sann for alle n opp til og med n = k > 1. Vi har da at

[tex]\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^k + \frac{1}{x^k}\right) = 2\cos \theta \cdot 2 \cos(k\theta)[/tex]

[tex]x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}} + x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}} = x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}} + 2\cos((k-1)\theta) = 4 \cos \theta \cos(k\theta)[/tex]

Benytter nå at [tex]\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2}[/tex] og får:

[tex]x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}} = 2[2cos\theta \cos(k\theta) - \cos((k-1)\theta)] = 2\left[2 \cdot \frac{\cos(k\theta + \theta) + \cos(k\theta - \theta)}{2} - \cos((k-1)\theta)\right] = 2 \cos((k+1)\theta)[/tex]

Påstanden stemmer dermed for alle n > 0. Anta at n = -k, k > 0, dvs. at n < 0. Da har vi at

[tex]x^{n} + \frac{1}{x^{n}} = x^{-k} + \frac{1}{x^{-k}} = x^k + \frac{1}{x^k} = 2\cos(k\theta) = 2\cos(-k\theta) = 2\cos(n\theta)[/tex]

så påstanden gjelder også for n < 0 og dermed for alle hele tall.

[Gustav]

Bra! Det eneste jeg stusset litt over var "Anta at den er sann for alle n opp til og med n = k > 2". Du trenger vel bare anta at formelen er riktig for n=k-1 og n=k, og derfra vise at den er riktig for k+1.

Oppfølger: Det fins en annen måte å løse oppgaven på uten induksjon. Hint: Bruk de Moivres formel.

[Vektormannen]

Ja, ser ut som det hang noe igjen fra det gamle beviset der. Det skal selvsagt være n = k > 1.

Oppfølgeren: La [tex]x = e^{i\theta}[/tex]. Da er [tex]\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \cos \theta[/tex] og følgelig er [tex]x^n + \frac{1}{x^n} = (e^{i\theta})^n + (e^{-i\theta})^n = e^{-in\theta} + e^{in\theta} = 2 \cos(n\theta)[/tex]