Potensrekker

[laks34]

Skjønner ikke helt hvordan jeg må gå fram for å løse en del oppgaver av denne typen:

OPPG: Gitt rekken (x+5)^n

(a) Finn rekkens radius og konvergensintervall?

Regnet fram til at konvergensintervallet var -6<x<-4. Tror at radius = 1, kan noen forklare hva radius er? er det lengden av konvergensintervallet/2?

(b) For hvilke verdier av x konvergerer rekken absolutt?

Hvordan finner jeg ut hvilke biter av konvergensintervallet som konvergerer absolutt? Er det ikke sånnn at når absoluttverdien av rekken konvergerer så konvergerer hele rekken absolutt? eller..?

(c) For hvilke verdier av x konvergerer rekken betinget?

Kan en og samme rekke konvergere absolutt og betinget?:/


Hvordan finner jeg ut alt dette?

[Nebuchadnezzar]

jeg kan jo prøve å forklare deg dette =)

a) Anta at denne rekken din konvergerer. Altså at den går mot et tall. Nå er jeg litt usikker på om det er x, eller n du kan variere. Men jeg antar x.

Alle mulige tall som rekken din går mot er inne i radiusen. Kort sagt kan en si at

radius = største tallet rekken din kan konvergere mot - minste tallet rekken din kan konvergere mot

http://www.lassp.cornell.edu/sethna/Cra ... gence.html

b)

Vi ser på absoluttverdien av en rekke for å finne ut om den konvergerer absolutt ja. Denne er sterkere enn en alternerende rekke

Om du tenker litt på det er det logisk. Anta at en alternerende rekke konvergerer absolutt. Det betyr jo at den må konvergere og. Siden den alternerende rekken må være mindre enn den absolutte rekken. Den alternerende rekken inneholder mange ledd som er negative og gjør summen mindre.

Dersom en rekke konvergerer absolutt, vet vi at den også konvergerer.

Det er vanskeligere for en rekke og konvergere absolutt, enn bare å konvergere.

c)

Betinget betyr at rekken konvergerer, men ikke absolutt. Eksempelvis så
konvergerer rekken

[tex]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}[/tex]

Men rekken ovenfor konvergerer ikke absolutt, det blir jo
[tex]\sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{k} \right| \: = \, \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}[/tex]

Som er den harmoniske serien, som vi vet divergerer.

[laks34]

hmm.. For rekken x^n er konvergensintervallet -1<x<1. Hvis radius er største tallet rekken din kan konvergere mot - minste tallet rekken din kan konvergere mot da må jo radius være 1 -- 1 = 2? eller har jeg misforstått? i fasiten i boka står det at radius = 1

på b/c er det mulig jeg bare har misforstått oppgaveteksten.. det jeg lurer på er om det går ann at en rekke både har intervaller det den er absolutt konvergent og intervaller der den er betinget konvergent?

[Vektormannen]

a)
Konvergensintervallet for rekken [tex]\sum_{n=0}^\infty x^n[/tex] er som du sier -1 < x < 1. Da må konvergensintervallet for rekken du spør om være -2 < x < 0 ikke sant?

Jeg tror Nebu kanskje har blandet noe med konvergensintervall, for konvergensintervallet har ingenting med hva rekken konvergerer mot å gjøre. Konvergensintervallet består av alle x du kan sette inn og få at rekken konvergerer. Her blir det altså -2 < x < 0. Hvis x er utenfor det området så vil rekken divergere (utenom i endepunktene som man må sjekke.)

Konvergensradien er som du sier lengden av konvergensintervallet delt på 2. I dette tilfellet blir den 1.

b)
Potensrekker konvergerer alltid absolutt i det åpne konvergensintervallet. I endepunktene må du sjekke hva som skjer.

c)
Som i b) så er rekken garantert absolutt konvergent i det åpne konvergensintervallet. Du må sjekke hva som skjer i endepunktene. Det er kun der det kan forekomme betinget konvergens.

[laks34]

a) Men konvergensintervallet til (x+5)^n er -6 < x < -4 ? (Skrev feil i spørsmaålet i sta og endret det..) konvergensradius = (6-4)/2 = 1

b) Rekken konvergere absolutt i intervallet x element i [-6,-4]..
ENDEPUNKTER:
I x = -6 får vi: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... = divergens (Alternerende rekke test: Un går ikke mot 0)

I x = -4 får vi: 1 + 1 + 1+ 1 +1+... ->1 konvergens

Så hvis jeg har forstått det riktig så er rekken absolutt konvergerende i (-6,-4] og betinget konvergent i x = -6 ?
(Og resten divergerer?)

[Vektormannen]

a) Ja, da stemmer konvergensintervallet (så langt, til endepunktene er sjekket.)

b) Du mener vel når x er element i (-6, 4)?

Men ja: Når x = -6 får vi divergens. Men hvorfor mener du at rekken konvergerer når x = -4? Mener du at 1+1+1+1+1 + ... skal bli et tall? Man plusser jo sammen 1 uendelig mange ganger!

[laks34]

ops.. ja okay, fordi a_n = 1^n (for x = -4) så vil nth-term kriteriet gi 1 =>divergens.
Fungerer det som utledning?


b) SVAR: (-6,-4)

c) SVAR: x = -6 V x = -4

[Vektormannen]

b) Riktig.

c) Konvergerer rekken betinget? Du har jo funnet i begge endepunktene at den divergerer!

[laks34]

c) ikke? men hva måtte i så fall til for at den skulle konvergere betinget ?
hadde jeg fått at rekken konvergerte så ville jeg jo fått absolutt konvergens i disse punktene også? ville jeg ikke?

[Vektormannen]

Hvis en rekke skal være betinget konvergent så må den konvergere, men ikke absolutt. Se eksempelet til Nebu ovenfor!

Du vet at i det åpne konvergensintervallet er rekken absolutt konvergent, så der kan det ikke være noen punkter hvor den er betinget konvergent. Så det må altså være i endepunktene det er eventuell betinget konvergens. Men i endepunktene får vi de rekkene (med ledd henholdsvis [tex]1^n[/tex] og [tex](-1)^n[/tex]) du fikk i sted, og ingen av de konvergerer. Altså er det ingen x som gir betinget konvergens.

[laks34]

Jeg ser at det åpne intervallet må konvergere absolutt.
Men hvis jeg hadde funnet ut at det var konvergens i endepunktene ville det da være betinget konvergens?

[laks34]

En annen ting også..

Når man bruker rot-testen istedet for forholdstesten til å finne konvergensområdet.. Hvordan kommer da absoluttverdien inn i bildet?

f. eks ((3x-2)^n)/n

her tror jeg må bruke rottesten.. sier jeg da at jeg tar absoluttverdien av nthe-rota til uttrykket?

a) p = | ^n [symbol:rot] ((3x-2)^n)/n | = |3x-2| (p<1 medfører konvergens)

Derfor ulikheten:
|3x-2|<1 som gir 1/3 < x < 1 som konvergensområde.
Konvergensradius = 1/3

b) Endepunkter:
x = 1/3 => betinget konvergens?
x = 1 => divergens

Absoutt konvergens i området (1/3<x<1).
c)Betinget konvergens i x = 1/3.

[Vektormannen]

Jeg ser at det åpne intervallet må konvergere absolutt.
Men hvis jeg hadde funnet ut at det var konvergens i endepunktene ville det da være betinget konvergens?

Da ville det vært betinget konvergens hvis den absolutte rekken i hvert endepunkt ikke konvergerte, ja.