Fullstendig Kvadrat

[hooray]

Hei!

Jeg sitter nå og jobber med kvadratsetningene.
Jeg har forståelse for den første og andre kvadratsetningen, men når jeg kom til fullstendig kvadrat ble jeg helt forvirret.

Oppaven: Bygg disse uttrykkene ut til et fullstendig kvadrat:
3x^2+12x-15

-Slik jeg ser det for meg:
3(x^2+2x-15)
;Men herifra roter det seg for meg.

Jeg skjønner jo at jeg skal halvere, kvadrere, addere og subtrahere,
men jeg klarer ikke å komme frem til riktig svar :/

Det skal forresten sies at jeg just har lært meg å faktorisere.

Takk for hjelp

[Nebuchadnezzar]

[tex]3x^2 + 12x - 15 [/tex]

[tex]3 \left( x^2 + 4x - 5 \right)[/tex]

[tex]3 \left( x^2 + (5-1)x + (-1)(5) \right)[/tex]

[tex]3 \left( x - 1\right)(x + 5)[/tex]

Anta at et andregradsuttrykk kan faktorises slik at det ser slik ut

[tex](x+m)(x+n)[/tex]

Der n, og m er heltall. (Kan både være negative og positive.)
Ganger vi ut og sammenlikner med det mer generelle uttrykket

[tex]x^2 + bx + c[/tex]

Så får vi at

[tex]x^2 + (n+m)x + nm[/tex]

Her ser vi raskt at dersom vi kan finne to tall slik at

[tex]n+m=b[/tex] og [tex]nm = c[/tex]

Så er faktoriseringen allerede i boks. Et lite eksempel

Faktoriser uttrykket under

[tex]x^2 - 5x + 6[/tex]

Denne gangen skriver vi ned alle to tall vi kan gange sammen for å få 6. (dog kan dette med enkelhet gjøres i hodet, etter litt trening) Dette gir oss

[tex]3 \cdot 2 = 6[/tex] og [tex](-3) \cdot (-2) = 6[/tex]
[tex]6 \cdot 1 = 6[/tex] og [tex](-1) \cdot (-6) = 6[/tex]

Så ser vi om noen av disse gir -5, når vi legger de sammen.

[tex]3 + 2 = 5[/tex] Nei
[tex](-3) + (-2) = -5[/tex] Ja!

Dermed kan vi skrive faktoriseringen slik

[tex]x^2 - 5x + 6 = ( x - 3 ) ( x - 2 )[/tex]

Finnes selvfølgelig andre metoder for å faktorisere slike uttrykk, men det er denne jeg finner lettest.

http://www.youtube.com/watch?v=xGOQYTo9AKY

http://www.youtube.com/watch?v=gzm-uhj06q8

http://www.youtube.com/watch?v=2Q8lG1WaqJY

osv

[hooray]

Tusen takk Nebuchadnezzar!
Skal prøve å få forståelse for dette!

[hooray]

Om jeg forstår deg riktig:

så er:
3x^2+12x-15
3(x^2+4x-5)
Herifra må jeg finne ut hvilke to tall jeg må gange sammen for å få -5?
Deretter trekker jeg sammen disse to tallene (heltallene N og M)
For å se om de blir 4?

(-1)x5=-5
=>
(-1)+5=4
=>
3(x-1)(x+5)

Er dette riktig?

Dette var en utrolig grei måte faktorisere på, takk for det!
Men fasiten til oppgaven er:
3(x+2)^2-27, den skulle bli bygget ut til et fullstendig kvadrat.

Edit:
Løste oppgaven
3((x^2+4x+2^2)-5-2^2)
3((x+2)^2-5-4)
3((x+2)^2-9)
3(x+2)^2-27

Phew! Fant ut at man måtte være ****** nøye med de hersens parentesene

Vet du om det står noe sted hvordan man benytter seg av "oppsettsverktøyet" istedenfor at jeg må skrive 2^2 etc. her på forumet?

[Nebuchadnezzar]

Riktig det ja, gav deg to videoer som forklarer måten med å fullføre kvadratet på og. =)

http://www.2shared.com/document/u0S7wBy ... kebok.html

Mine kloke ord om faktorisering.

[hooray]

Da kom vi til en ny vegg å stange hodet inntil

"Vi skyter en kule rett oppover. Etter "t" sekunder er kula "h" meter over bakken. Vi har formelen:
H=-5t^2+20t
Finn den største høyden kula får over bakken. Hvor lang tid tar det før dette skjer?

Utregninga var som sagt grei:
-5(t^2-4t)
4/2=2=2^2
-5((t^2-4t+2^2)-2^2)
-5(t-2)^2 -4)
-5(t-2)^2 +20

(t-2)^2=0
y=20m

Fasiten sier at det tar 2sekunder før kula når høyden på 20m, men jeg klarer ikke å se hvordan!
Er det fordi (t-2)^2 ?

[Vektormannen]

Ja, det du gjorde for å finne makshøyden var jo å sette at [tex](t-2)^2 = 0[/tex], ikke sant? Det skjer jo når t = 2!

[hooray]

Hehe, jeg klarer ikke å se det store bildet enda
Men om jeg leser formelen ordrett (t-2)^2 så blir jo dette:
t^2-2t-2t+4
=
t^2-4t+4.

Hva er det som åpenlyst tilsier at det tar 2sekunder?

Edit: Er det fordi jeg setter t(sekunder) til å være -2?
Men om jeg setter "t" til å være minus -2, så blir jo dette +4 i følge formelen
(t-2)^2)?

[gill]

0 opphøyd i annen på venstre side når t=2

[hooray]

Takk for all hjelp, men denne fillesaken må jeg nok ha inn med spiseskje

[Vektormannen]

Jeg kan prøve å forklare:

Du har funnet ut at [tex]H = -5t^2 + 20t[/tex] kan skrives som [tex]H = -5(t-2)^2 + 20[/tex].

Så lurer de på hva den største høyden kan bli. Den blir 20. Hvorfor? Da må vi se på uttrykket for H. Vi ser at vi har -5 ganget med [tex](t-2)^2[/tex]. Siden [tex](t-2)^2[/tex] er et kvadrat (opphøyd i andre) så er den faktoren alltid positiv. Det betyr at leddet [tex]-5(t-2)^2[/tex] alltid må være negativ. Når blir høyden størst? Jo, når leddet [tex]-5(t-2)^2[/tex] er lik 0. Da får vi høyden 20m. Hvis leddet [tex]-5(t-2)^2[/tex] hadde hatt en verdi så hadde den (som begrunnet ovenfor) vært negativ. Da ville høyden blitt mindre enn 20m.

Altså: Høyden blir størst når [tex]-5(t-2)^2 = 0[/tex]. Når skjer det? Jo, vi set at når t er 2 så får vi [tex]-5(2 -2)^2 = 0[/tex]. Det betyr altså at ved t = 2 så blir leddet [tex]-5(t-2)^2[/tex] 0.

Du må jo ha tenkt noe lignende selv når du fant ut at 20 var makshøyden?

[hooray]

Takk for hjelpa vektormannen Jeg må gruble på den der, som sagt har jeg ganske dårlig forståelse på dette.
Jeg fant jo Y=20
uten at jeg hadde oppgitt at t=2, så er det jeg sliter med å se.

[hooray]

Tror rett og slett jeg må ha jukset meg til svaret
Men ja, nå forstår jeg at produktet av leddet H(t)=-5(t-2)^2 må være =0, hvis ikke så blir jo svaret som sagt negativt.
Jeg går kanskje rundtom meg selv akkurat nå, men hvis t=2(som det må være for at leddet skal bli 0), hvordan kan da maksimalhøyden bli h(t)=20m når t=2?
Hva er cluet for å se dette? Grafisk på kalkulator?

Takk for svar

[Vektormannen]

H(t) blir [tex]H(t) = -5(t-2)^2 + 20[/tex]. Jeg tror du har glemt + 20 i det forrige inlegget ditt.

Da ser vi at når [tex]-5(t-2)^2[/tex] er 0 så står vi igjen med 20. Når t er forskjellig fra 2 så blir [tex](t-2)^2[/tex] forskjellig fra 0. Men da blir [tex]-5(t-2)^2[/tex] et negativt tall, så høyden må bli mindre. Dermed vet vi at når t = 2 så er høyden på sitt maksimale, 20m.

[Nebuchadnezzar]

Her er en visualisering, antar dette hjelper forståelsen din =)

http://www.2shared.com/file/p5mMvpc1/Ballspretting.html

som vektormannen sier, du skriver om uttrykket ditt slik

[tex]H(x) = -5 (x-2)^2 + 20[/tex]

Vi vet at [tex](x-2)^2[/tex] blir veldig stor når [tex]x[/tex] blir veldig stor, eller veldig liten.

En kan tenke at dette første leddet, "ødelegger" for hvor høyt ballen kommer. Jo større dette leddet er, jo lavere kommer ballen. Eksempelvis

setter vi inn 4 får vi

[tex]H(x) = -5 (x-2)^2 + 20 = -5 \cdot (2)^2 + 20 = -20 + 20[/tex]

Her ser vi at det første leddet ødelegger veldig mye, faktisk stjeler det første leddet [tex]20[/tex] meter!

Så for å finne ut den største høyden må vi minimalisere det første leddet.
Vi ser at det første leddet blir veldig stor når x er veldig stor eller veldig liten. Derimot er det første leddet [tex]0[/tex] når [tex]x=2[/tex]

hah! Så den største høyden vi oppnår er når det første leddet er null, altså når x=2

[tex]H(x) = -5 (x-2)^2 + 20 = -5 \cdot (0)^2 + 20 = 0 + 20 = 20[/tex]

Setter vi inn noe større eller mindre enn [tex]x=2[/tex], så ødelegger det første leddet. Den trekker ifra noe.