[tex](a^m)^{\frac{1}{n}[/tex] (I)
siden [tex]\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}[/tex]
som kan forklares slik
http://www.viewdocsonline.com/document/biwlgx
har vi at
[tex]\sqrt[n]{aa...a}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{a}...\sqrt[n]{a}[/tex]
har m a under rottegnet som i (I)
for å vise at
[tex](a^m)^{\frac{1}{n}=a^{\frac{m}{n}[/tex]
for alle hele tall av n og m
(liker å vise ting lissom)
trenger jeg nå bare å vise at
[tex]a^{\frac{1}{n}}a^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{2}{n}}[/tex]
Etter det må jeg vise at
[tex]a^{\frac{1}{n}}a^{\frac{2}{n}}=a^{\frac{3}{n}}[/tex]
tror jeg (mulig det finnes en bedre måte)
og så videre. Hvis
[tex]a^{\frac{1}{n}}a^{\frac{1}{n}}=y[/tex] (a)
[tex]a^{\frac{2}{n}}=y[/tex] (aa)
gir samme uttrykk for y etterhvert. Bruker at
http://www.viewdocsonline.com/document/u2n9hz
(a):
[tex]a^{\frac{1}{n}}=\frac{y}{a^{\frac{1}{n}}}[/tex]
får
[tex]a=\frac{y^n}{a}[/tex]
[tex]a^2=y^n[/tex]
(aa):
[tex]a^{\frac{2}{n}}=y[/tex]
jeg må vise at
[tex](a^{\frac{2}{n}})^n=a^2[/tex]
Beviste Napier logaritmer empirisk? Kan man bevise det med mer avansert mattematikk det jeg prøver å vise. Noen som vet?
ny dag nye muligheter...kanskje
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex](a^{\frac{1}{n}})^n=a^2[/tex]
Vi sier at vi har
[tex](a^{\frac{1}{2n}}a^{\frac{1}{2n}})^n[/tex]
vi får
[tex](a^{\frac{1}{2n}})^n(a^{\frac{1}{2n}})^n[/tex]
hva er 2nte rot opphøyd i nte jo man har kommet halvveis til å få det opprinnelige tallet a siden man har ganget halvparten av nte røttene sammen dette gjelder for alle reelle tall. Vi får:
[tex](a^{\frac{1}{2n}}a^{\frac{1}{2n}})^n=(a^{\frac{1}{2n}})^n(a^{\frac{1}{2n}})^n=(a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}})=a=(a^{\frac{1}{n}})^n[/tex]
vi har altså at
[tex](a^{\frac{1}{2n}}a^{\frac{1}{2n}})^n=(a^{\frac{1}{n}})^n[/tex]
Vi sier at p=2n
[tex](a^{\frac{1}{p}}a^{\frac{1}{p}})^n=(a^{\frac{2}{p}})^n[/tex]
Blir dette riktig? Fungerer ikke for oddetall av p det at n blir desimal gjør det mye mindre forståelig. Noe opphøyd i 3.5 er vanskelig å forholde seg til og 3.5 rota er enda vanskeligere. Noen som har et forslag for hvordan man kan komme seg rundt det?
Vi sier at vi har
[tex](a^{\frac{1}{2n}}a^{\frac{1}{2n}})^n[/tex]
vi får
[tex](a^{\frac{1}{2n}})^n(a^{\frac{1}{2n}})^n[/tex]
hva er 2nte rot opphøyd i nte jo man har kommet halvveis til å få det opprinnelige tallet a siden man har ganget halvparten av nte røttene sammen dette gjelder for alle reelle tall. Vi får:
[tex](a^{\frac{1}{2n}}a^{\frac{1}{2n}})^n=(a^{\frac{1}{2n}})^n(a^{\frac{1}{2n}})^n=(a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}})=a=(a^{\frac{1}{n}})^n[/tex]
vi har altså at
[tex](a^{\frac{1}{2n}}a^{\frac{1}{2n}})^n=(a^{\frac{1}{n}})^n[/tex]
Vi sier at p=2n
[tex](a^{\frac{1}{p}}a^{\frac{1}{p}})^n=(a^{\frac{2}{p}})^n[/tex]
Blir dette riktig? Fungerer ikke for oddetall av p det at n blir desimal gjør det mye mindre forståelig. Noe opphøyd i 3.5 er vanskelig å forholde seg til og 3.5 rota er enda vanskeligere. Noen som har et forslag for hvordan man kan komme seg rundt det?
ærbødigst Gill
[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{n}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{n}} \, \cdot \, . . . \, \cdot a^{\frac{1}{n}} \, }_{\text{n times}} \, =a[/tex]
tar mte rot på begge sider
[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{n}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{n}} \, \cdot \, . . . \, \cdot a^{\frac{1}{n}} \, }_{\text{n times}}^{\frac{1}{m}} \, =a^{\frac{1}{m}}[/tex] (a)
[tex](a^{\frac{1}{np}})^{np}=a[/tex] (I)
så ser vi på
[tex]((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^{np}=(((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^n)^p[/tex]
siden n og p er hele tall og faktorenes orden er likegyldig
[tex]((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^{np}=(((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^p)^n=a[/tex]
so
[tex]xy^{\frac{1}{np}}=(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}}[/tex]
dermed blir (a)
[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{nm}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{nm}} \, \cdot \, . . . \, \cdot a^{\frac{1}{nm}} \, }_{\text{n times}} \, =a^{\frac{1}{m}}[/tex]
så hvis m=3 og n=2 får vi
[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{6}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{6}} \, \cdot \, }_{\text{2 times}} \, =a^{\frac{1}{3}}[/tex]
for eks
tar mte rot på begge sider
[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{n}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{n}} \, \cdot \, . . . \, \cdot a^{\frac{1}{n}} \, }_{\text{n times}}^{\frac{1}{m}} \, =a^{\frac{1}{m}}[/tex] (a)
[tex](a^{\frac{1}{np}})^{np}=a[/tex] (I)
så ser vi på
[tex]((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^{np}=(((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^n)^p[/tex]
siden n og p er hele tall og faktorenes orden er likegyldig
[tex]((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^{np}=(((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^p)^n=a[/tex]
so
[tex]xy^{\frac{1}{np}}=(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}}[/tex]
dermed blir (a)
[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{nm}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{nm}} \, \cdot \, . . . \, \cdot a^{\frac{1}{nm}} \, }_{\text{n times}} \, =a^{\frac{1}{m}}[/tex]
så hvis m=3 og n=2 får vi
[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{6}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{6}} \, \cdot \, }_{\text{2 times}} \, =a^{\frac{1}{3}}[/tex]
for eks
ærbødigst Gill