Mener dette skal stemme. Artig å bevise, og ikke helt umulig for førsteklassinger.
La [tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] være kjennetegnet ved at
[tex]f(xy)=f(x)f(y)[/tex]
for alle [tex]x,y \in \mathbb{R}[/tex]. Vis at da må f enten være en odde eller en like funksjon.
Kalkulus-oppgave
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Abel
- Innlegg: 665
- Registrert: 27/01-2007 22:55
Vi ser at f(x) = 0 løser systemet. f er da en odde funksjon og en like funksjon. Vi antar derfor at f ikke er nullfunksjonen.
f(x*1) = f(x)*f(1) => f(1) = 1
1= f(1) = f((-1)(-1)) = f(-1)f(-1) =>f(-1) = [symbol:plussminus] 1
Dersom f(-1) = 1 har vi at:
f(-x) = f(x*(-1)) = f(-1)f(x) = f(x) => f er en like funksjon
Dersom f(-1) = -1 har vi at:
f(-x) = f(x*(-1)) = f(-1)f(x) = -f(x) => f er en odde funksjon
f er altså en odde og/eller en like funksjon.
f(x*1) = f(x)*f(1) => f(1) = 1
1= f(1) = f((-1)(-1)) = f(-1)f(-1) =>f(-1) = [symbol:plussminus] 1
Dersom f(-1) = 1 har vi at:
f(-x) = f(x*(-1)) = f(-1)f(x) = f(x) => f er en like funksjon
Dersom f(-1) = -1 har vi at:
f(-x) = f(x*(-1)) = f(-1)f(x) = -f(x) => f er en odde funksjon
f er altså en odde og/eller en like funksjon.
Vi har også [tex]f(x)f(0)=f(0)[/tex], så [tex]f(x)=1 \forall x[/tex] eller [tex]f(0)=0[/tex]. Første løsning stemmer trivielt, så antar videre at [tex]f(0)=0[/tex]. Er f heller ikke nullfunksjonen er [tex]f(1)=1[/tex], så [tex]f(\frac 1 x)=\frac 1 {f(x)}[/tex]. Vi ser også at siden f enten er odde eller like holder det å finne verdiene til [tex]f[/tex] på positive halvakse. Betrakt derfor [tex]g(x)=\log f(x)[/tex], som er veldefinert siden [tex]y=x[/tex] gir [tex]f(x^2)=f(x)^2> 0[/tex] dersom [tex]f(x)\not = 0[/tex], og er [tex]f(x)=0[/tex] for x ulik 0 er [tex]f(1)=f(x \cdot \frac 1 x) = f(x)f(\frac 1 x) = 0[/tex] og motsigelse. Vi har da [tex]g(xy)=g(x)+g(y)[/tex] for alle [tex]x,y > 0[/tex]. Setter vi så [tex]g(x)=h(\log(x)), X=\log(x), Y=\log(y)[/tex] får vi [tex]h(X+Y)=h(X)+h(Y)[/tex] for alle [tex]X,Y[/tex], som er Cauchys funksjonallikning. Anta så at h er en vilkårlig løsning av denne. Da er [tex]f(xy)=e^ {h(\log(xy))}=e^ {h(\log(x)+log(y))}=e^ {h(\log(x))+h(log(y))}=e^ {h(\log(x))}*e^ {h(\log(y))}=f(x)f(y)[/tex] for alle positive x,y. Vi ser derfor at om vi definerer [tex]f(x)=cf(-x)[/tex] med [tex]c=1[/tex] eller [tex]c=-1[/tex] utvides [tex]f[/tex] til en funksjon som oppfyller likningen og er definert på hele tallinja.
Vi er altså ferdige om vi godtar Cauchylikningen som 'løst nok' - løsningen er [tex]f(x)=0, f(x)=1[/tex] eller [tex]f(x)=e^{h(log(x))}[/tex] der [tex]h[/tex] er en vilkårlig løsning av Cauchylikningen-
Vi er altså ferdige om vi godtar Cauchylikningen som 'løst nok' - løsningen er [tex]f(x)=0, f(x)=1[/tex] eller [tex]f(x)=e^{h(log(x))}[/tex] der [tex]h[/tex] er en vilkårlig løsning av Cauchylikningen-
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Fra den siste likningen [tex]e^{h\left( \log x - \log y\right)}[/tex]
får vi vel de løsningene om [tex]y = 1[/tex] ?
får vi vel de løsningene om [tex]y = 1[/tex] ?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
[tex]e^{h\left( \log x - \log y\right)}[/tex]
Dersom [tex]y=1[/tex] så
[tex]L = e^{h\left( \log x - \log 1 \right)} = e^{h\left( \log x \right)} = e^{\left( \log x^h \right)} = x^h[/tex]
Kanskje ?
Dersom [tex]y=1[/tex] så
[tex]L = e^{h\left( \log x - \log 1 \right)} = e^{h\left( \log x \right)} = e^{\left( \log x^h \right)} = x^h[/tex]
Kanskje ?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Kan vi ikke strengt talt si at tall er funksjoner da? y = 2, fks.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ikke egentlig. Du kan helt klart si at gitt et tall er det ofte en naturlig måte å lage seg en konstantfunksjon som sender alt til det tallet på, men et tall er ikke en funksjon noe mer enn et bringebær er syltetøy.Nebuchadnezzar skrev:Kan vi ikke strengt talt si at tall er funksjoner da? y = 2, fks.
En litt mer intrikat sak er jo at du kun med et tall ikke vet hva funksjonen er definert på. Er 'funksjonen' y=2 den som sender alle reelle tall til 2, eller funksjonen som sender alle trekanter til 2? For å definere en funksjon må du også angi domenet (og strengt tatt også kodomenet - tar denne funksjonen verdier i [tex]\mathbb N[/tex], [tex]\mathbb R[/tex] eller kanskje bare [tex]\{2\}[/tex]?).
Riktig det Karl Erik. Det hadde vel ved ettertanke vært hensiktsmessig å kreve kontinuitet, da vi i så fall ville ha fått at løsningene til cauchy-funksjonallikningen er funksjoner på formen Ax, slik at vi kan skrive f(x) = e(Alog(x)) = x^A, der vi for A = 0 betrakter funksjonen x^0 som 1. I tillegg til f(x) = 0 selvsagt.