Heltallsløsninger
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mstud
- Grothendieck
- Posts: 825
- Joined: 14/02-2011 15:08
- Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)
[tex](m+n-5)^2=9mn[/tex]plutarco wrote:Finn alle ikkenegative heltallsløsninger av [tex](m+n-5)^2=9mn[/tex]
[tex](m+n)^2-10(m+n)+25=9mn[/tex]
[tex]m^2+2mn+n^2-10m-10n+25=9mn[/tex]
[tex]m^2+n^2-10m-10n+25=9mn-2mn[/tex]
[tex]m^2+n^2-10m-10n+25=7mn[/tex]
[tex]m(m-10)+n(n-10)=7mn-25[/tex]
Har ikke hatt om funksjoner av flere variable, så gir opp...
Eneste alternativet for meg ville vært å teste tall
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
n=1 og m=1 fungerer, men ja, gav opp jeg og ^^
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Vi ser først at om m og n har noen felles faktor må det være fem, og om vi forkorter med den står vi igjen med likningen [tex](m+n-c)^2=9mn[/tex] med [tex]c=1[/tex] eller 5. Videre ser vi her at siden høyresiden nå er produktet av et kvadrattall og to relativt primiske tall, og dette igjen skal bli et kvadrattall, må [tex]m=a^2,n=b^2[/tex]. Altså er [tex]a^2+b^2=c\pm 3ab[/tex]. Det negative fortegnet impliserer at [tex]a^2+b^2<c[/tex], så vi må kun sjekke tilfellene [tex]a,b <3[/tex], som gir de løsnignene som er blitt nevnt her. Ellers har vi [tex]a^2+b^2-3ab=c[/tex], eller etter litt opprydning [tex](2a-3b)^2-5b^2=4c[/tex]. Gjør vi substitusjonen [tex]A=2a-3b[/tex] får vi [tex]A^2-5b^2=4c=4 [/tex] eller 20. Dette er da en pellsk likning. Det finnes en løsning i begge tilfellene, så vi har funnet alle løsninger om vi bare kan løse likningen [tex]A^2-5b^2=1[/tex].
Det er kjent at alle løsninger her er potenser av fundamenttalløsningen, som kan vises ved å dra inn Dirichlets enhetsteorem og omformulere likningen til et spørsmål om enheter i ringen av heltall av [tex]\mathbb Q[/tex][tex][\sqrt 5][/tex]. Fundamentalløsningen ender med å være [tex](A,b)=(9,4)[/tex], så alle løsningene er på formen [tex]A+\sqrt 5 b = (\pm)(9 + 4\sqrt 5)^n[/tex]. For å få løsninger på likningen vi -egentlig- var interessert i må vi gange med en vilkårlig løsning [tex](A_1+\sqrt 5 b_1)[/tex] av [tex]A_1^2-5b_1^2=4[/tex] eller 20. Den første har løsningen (2,0), og den andre har løsningen (5,1), så likningen vår har løsningene [tex](A+\sqrt 5b)=2(9+4\sqrt 5)^n[/tex] eller [tex](5+\sqrt 5)(9+5 \sqrt 5)^n[/tex]. Vi kan så finne [tex]a[/tex], som vi opprinnelig var interessert i, ved å ta [tex]a=\frac {A+3b} 2[/tex]. Dette vil alltid være ikkenegativt ettersom [tex]A[/tex] og [tex]b[/tex] er det, og heltall siden det kun kan ikke være det dersom [tex]A[/tex] og [tex]b[/tex] har motsatt paritet, og da vil [tex]A^2-5b^2[/tex] være et oddetall, og følgelig ikke lik 4 eller 20.
Dette ble litt drøyt, men selv om noen ting gikk fort tror jeg dette skal stemme. Noen løsninger er, i følge Python, (m,n)=:
(tilfellet c=1)
(0, 5)
(5, 45)
(45, 320)
(320, 2205)
(2205, 15125)
(15125, 103680)
(103680, 710645)
(710645, 4870845)
(4870845, 33385280)
(33385280, 228826125)
(tilfellet c=5)
(1, 16)
(16, 121)
(121, 841)
(841, 5776)
(5776, 39601)
(39601, 271441)
(271441, 1860496)
(1860496, 12752041)
(12752041, 87403801)
Det er kjent at alle løsninger her er potenser av fundamenttalløsningen, som kan vises ved å dra inn Dirichlets enhetsteorem og omformulere likningen til et spørsmål om enheter i ringen av heltall av [tex]\mathbb Q[/tex][tex][\sqrt 5][/tex]. Fundamentalløsningen ender med å være [tex](A,b)=(9,4)[/tex], så alle løsningene er på formen [tex]A+\sqrt 5 b = (\pm)(9 + 4\sqrt 5)^n[/tex]. For å få løsninger på likningen vi -egentlig- var interessert i må vi gange med en vilkårlig løsning [tex](A_1+\sqrt 5 b_1)[/tex] av [tex]A_1^2-5b_1^2=4[/tex] eller 20. Den første har løsningen (2,0), og den andre har løsningen (5,1), så likningen vår har løsningene [tex](A+\sqrt 5b)=2(9+4\sqrt 5)^n[/tex] eller [tex](5+\sqrt 5)(9+5 \sqrt 5)^n[/tex]. Vi kan så finne [tex]a[/tex], som vi opprinnelig var interessert i, ved å ta [tex]a=\frac {A+3b} 2[/tex]. Dette vil alltid være ikkenegativt ettersom [tex]A[/tex] og [tex]b[/tex] er det, og heltall siden det kun kan ikke være det dersom [tex]A[/tex] og [tex]b[/tex] har motsatt paritet, og da vil [tex]A^2-5b^2[/tex] være et oddetall, og følgelig ikke lik 4 eller 20.
Dette ble litt drøyt, men selv om noen ting gikk fort tror jeg dette skal stemme. Noen løsninger er, i følge Python, (m,n)=:
(tilfellet c=1)
(0, 5)
(5, 45)
(45, 320)
(320, 2205)
(2205, 15125)
(15125, 103680)
(103680, 710645)
(710645, 4870845)
(4870845, 33385280)
(33385280, 228826125)
(tilfellet c=5)
(1, 16)
(16, 121)
(121, 841)
(841, 5776)
(5776, 39601)
(39601, 271441)
(271441, 1860496)
(1860496, 12752041)
(12752041, 87403801)