Faktorisering VG2 R1

[Joalim]

Sliter litt med et par matteoppgaver under temaet faktorisering. Oppgaven går ut på å forkorte to brøker ved hjelp av faktorisering.

Oppgave 2.4
a)
x[sup]2[/sup] - 121
2x - 22

b)
3x[sup]2[/sup] + 30x + 75
x[sup]2[/sup] - 25

Noen som kan forklare hvordan jeg kan løse dette?

[Vektormannen]

Velkommen til forumet

a) I telleren har du et uttrykk som er på formen [tex]a^2 - b^2[/tex]. Det vet vi fra konjugatsetningen/3. kvadratsetning at vi kan skrive som [tex](a-b)(a+b)[/tex]. Siden [tex]121 = 11^2[/tex] får vi da i telleren at [tex]x^2 - 121 = (x-11)(x+11)[/tex]. Ser du hvordan du kan forkorte da?

b) Uttrykket i nevneren har samme form som telleren hadde i oppgave a). Kan du klare å faktorisere den? I telleren har du et andregradspolynom. Hvis du kan finne nullpunktene til dette polynomet så vet du at polynomet kan faktoriseres til [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex] der [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex] er nullpunktene og [tex]a[/tex] er tallet som står foran [tex]x^2[/tex]-leddet. Hva blir disse nullpunktene, dvs. løsningene på ligningen [tex]3x^2 - 30x + 75 = 0[/tex]?

[Kork]

edit: Hør på vektormannen

[Joalim]

Velkommen til forumet

Jo, takk. :p

Siden [tex]121 = 11^2[/tex] får vi da i telleren at [tex]x^2 - 121 = (x-11)(x+11)[/tex]. Ser du hvordan du kan forkorte da?

Er litt usikker på det, blir det bare [tex]x+11[/tex] kanskje? o:

b) Uttrykket i nevneren har samme form som telleren hadde i oppgave a). Kan du klare å faktorisere den? I telleren har du et andregradspolynom. Hvis du kan finne nullpunktene til dette polynomet så vet du at polynomet kan faktoriseres til [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex] der [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex] er nullpunktene og [tex]a[/tex] er tallet som står foran [tex]x^2[/tex]-leddet. Hva blir disse nullpunktene, dvs. løsningene på ligningen [tex]3x^2 - 30x + 75 = 0[/tex]?

Ifølge boka så skal det være mulig å løse oppgaven uten nullpunktmetoden. Den metoden lærer vi også først ved neste delkapittel.

Så på oppgave a) har jeg forsatt bare svaret på telleren (x+11?).

[Vektormannen]

a) Ja, du kan forkorte x-11 slik at du står igjen med x+11 i telleren. Men har du ikke noe igjen i nevneren også?

b) Ok, da må vi gjøre det på andre måter. Nevneren regner jeg med er grei. I telleren så kan du først faktorisere ut 3 (det er jo en faktor i alle ledd), slik at du har [tex]3(x^2 - 10x + 25)[/tex]. Se på det som står i parentesen. Ser dette ut som noe du kan ha fått ved å bruke andre kvadratsetning? Kan du bruke kvadratsetningen baklengs på dette uttrykket?

[Zew]

Er litt usikker om hvor du står fast, så jeg løser oppgaven med forklaring

Oppgave 2.4 a)

x[sup]2[/sup] - 121
2x - 22

3. Kvadratsetning baklengs på telleren:

x[sup]2[/sup] - 121 = (x + 11)(x-11) Fordi 11 * - 11 = - 121

I nevneren kan vi sette 2 utenfor og få en felles faktor med telleren (x - 11):

2x - 22 = 2(x - 11) Fordi 2 * - 11 = - 22

Da kan vi stryke (x - 11) med hverandre, oppe og nede:

(x + 11)(x - 11) =
2 (x - 11)

(x + 11)
2

[Joalim]

b) Ok, da må vi gjøre det på andre måter. Nevneren regner jeg med er grei. I telleren så kan du først faktorisere ut 3 (det er jo en faktor i alle ledd), slik at du har [tex]3(x^2 - 10x + 25)[/tex]. Se på det som står i parentesen. Ser dette ut som noe du kan ha fått ved å bruke andre kvadratsetning? Kan du bruke kvadratsetningen baklengs på dette uttrykket?

Har kommet frem til dette på telleren oppgv. b)

[tex]3x^2+30x+75[/tex] = [tex]3(x^2-10x+25)[/tex] = [tex]3(x^2-2*x*5+5^2) = 3(x-5)^2[/tex]

Og på nevneren:

[tex]x^2-25 = x^2-5^2[/tex] = [tex](x+5)(x-5)[/tex] = [tex]x-5[/tex]

Hvis noen kan forklare hvordan jeg bruker brøkstrek i tex koden så hadde det hvert fint haha.

[Vektormannen]

Ser bra ut dette!

Brøkstrek får du ved å skrive \frac{a}{b} der a er teller og b er nevner.

[Joalim]

Så da er det bare å gange 3'ern inn i parantesen;

[tex]\frac{3(x-5)^2}{x-5}[/tex] = [tex]\frac{3x+15}{x-5}[/tex]

Det stemmer med fasiten ihvertfall! Takk for hjelpen

[Vektormannen]

Hm, har du blandet pluss og minus i teller og nevner? Skal vel bli minus mellom leddene i telleren og pluss i nevneren.

[tex]\frac{3(x-5)^{\cancel 2}}{\cancel{(x-5)}(x+5)} = \frac{3(x-5)}{x+5} = \frac{3x-15}{x+5}[/tex]

Et lurt tips når det gjelder tex-kodene er at du kan holde musepekeren over tex-bildene for å se kodene som ble skrevet for å lage dem. Så hvis du lurer på hvordan noe ble skrevet i tex så er det bare å holde musepekeren over bildet.

[Joalim]

Hmm, det var rart. Fasiten sier at det er [tex]\frac{3x+15}{x-5}[/tex] som er riktig. Men det ser riktig ut det du har gjort. Spør læreren imorra for sikkerhetsskyld uansett.

[Vektormannen]

Sorry, her er det jeg som har rotet det til! I den opprinnelige oppgaven var det jo [tex]3x^2 + 30x + 75[/tex], med pluss foran 30x-leddet. Jeg har på en eller annen måte fått det til å bli minus. Selve regningen blir veldig lik, men i stedet for [tex]3(x-5)^2[/tex] så blir det da [tex]3(x+5)^2[/tex] i telleren. Da får vi:

[tex]\frac{3(x+5)^{\cancel 2}}{(x-5)\cancel{(x+5)}} = \frac{3x+15}{x-5}[/tex]

[Joalim]

Aah, da så.

Da vil oppgaven se slik ut i sin helhet (liker å ha orden på utregningene hehe);

[tex]\frac{3x^2+30x+75}{x^2-25}[/tex]=[tex]\frac{3(x^2+10x+25)}{x^2-5^2}[/tex]=[tex]\frac{3(x^2+2*x*5+5^2)}{x^2-5^2}[/tex]=[tex]\frac{3(x+5)^2}{(x-5)(x+5)}[/tex]=[tex]\frac{3x+15}{x-5}[/tex]

[Joalim]

Er litt usikker om hvor du står fast, så jeg løser oppgaven med forklaring

Oppgave 2.4 a)

x[sup]2[/sup] - 121
2x - 22

3. Kvadratsetning baklengs på telleren:

x[sup]2[/sup] - 121 = (x + 11)(x-11) Fordi 11 * - 11 = - 121

I nevneren kan vi sette 2 utenfor og få en felles faktor med telleren (x - 11):

2x - 22 = 2(x - 11) Fordi 2 * - 11 = - 22

Da kan vi stryke (x - 11) med hverandre, oppe og nede:

(x + 11)(x - 11) =
2 (x - 11)

(x + 11)
2

Jepp, det ble riktig. Forsto også oppgaven nå som jeg fikk det inn med teskje. Takker