2^x+1 + 3 * 2^x = 40

[Zew]

2[sup]x + 1[/sup] + 3 * 2[sup]x[/sup] = 40

Beklager alle innleggene mine om logaritmer, men sliter en del med dem. Hadde vært fint om noen kunne løse denne oppgaven for meg og kanskje si hva jeg gjør feil.

Min fremgangsmåte er:

2[sup]x + 1[/sup] + 3 * 2[sup]x[/sup] = 40

- Opphøye i ln

(x + 1) ln 2 + (x) ln 2 * 3 = ln 40

x + 3x = (ln 40/ln2) - 1

Mitt problem er at jeg ikke vet om:
3 ln 2[sup]x[/sup] = 3x ln 2
3 ln 2[sup]x[/sup] = x ln 2 * 3 = x ln 6

[Vektormannen]

Hva mener du med å opphøye i ln?

Det ser for meg ut som du har prøvd å bruke ln-funksjonen på begge sider. Problemet er da at [tex]\ln(a+b) \neq \ln a + \ln b[/tex]. Du kan ikke dele opp ln av en sum slik du har gjort.

Det jeg ville gjort her er å benytte regelen som sier at [tex]a^{b+c} = a^b \cdot a^c[/tex]. Den gir deg jo at [tex]2^{x+1} = 2 \cdot 2^x[/tex], ikke sant? Ser du noe du kan gjøre da?

[Zew]

2[sup]x + 1[/sup] + 3 * 2[sup]x[/sup] = 40

2[sup]1[/sup] * 2[sup]x[/sup] + 3 * 2[sup]x[/sup] = 40

2[sup]x[/sup](2 + 3) = 40

2[sup]x[/sup] = 40/(2 + 3)

x ln 2 = ln 8

x = 3

Tusen takk Vektormannen, du redder meg igjen!

[Vektormannen]

Flott!

Jeg kan klarne litt opp i hva som gikk feil og hvorfor: Når vi løser ligninger så gjør vi ikke noe annet enn å utføre operasjoner på hver side av likhetstegnet. Vi vet jo at om to ting er like så vil de fortsatt være det etter at samme operasjon er utført på hver side. Noen ganger legger i vi til eller trekkre fra det samme tallet på hver side. Det er det vi ofte kaller å flytte over ledd. Andre ganger bruker vi en funksjon på hver side. Hvis vi har følgende:

[tex]\ln x = 3[/tex]

Så bruker vi funksjonen [tex]f(x) = e^x[/tex] på hver side. Det gjør vi fordi vi vet at om vi putter [tex]\ln x[/tex] inn i den funksjonen så får vi ut x. Da gjør vi det på begge sider og får:

[tex]e^{\ln x} = e^3[/tex]

På samme måte bruker vi [tex]\ln[/tex]-funksjonen på begge sider av ligningen når vi har følgende:

[tex]3^x = 5[/tex]

[tex]\ln 3^x = \ln 3[/tex]

Og så videre. Problemet som oppsto i løsningen din var at du hadde

[tex]2^{x+1} + 3 \cdot 2^x = 40[/tex]

Det er ingenting galt i å bruke [tex]\ln[/tex]-funksjonen på begge sider. Men vi må ikke gå for fort frem. Det eneste vi har lov til å gjøre i en ligning er å utføre samme operasjon på begge sider. Det er ikke uten videre lov å anta at man kan gjøre samme operasjon i hvert ledd på hver side. Det kommer helt an på operasjonen man utfører. Det vil ikke gå med ln-funksjonen, fordi det ikke gjelder at [tex]\ln(a+b) = \ln a + \ln b[/tex]. Når vi tar ln av begge sider får vi altså

[tex]\ln(2^{x+1} + 3 \cdot 2^x) = \ln 40[/tex]

Hvis vi vil kan vi nå faktorisere slik du gjorde ovenfor, og ende opp med samme resultat.