Naturlig Logaritme: ln (x/2) = 1 - ln x

[Zew]

ln (x/2) = 1 - ln x

Jeg har prøvd å løse denne oppgaven og funnet flere fremgangsmåter, men får ikke samme svar som i fasit.

Fremgangsmåte 1:

ln (x/2) = 1 - ln x

- Bruker regel: ln (a/b) = ln a - ln b

ln x - ln 2 = 1 - ln x

- Flytter over

ln x + ln x = 1 + ln 2

- Bruker regel: ln a + ln b = ln (ab)

ln x^2 = 1 + ln 2

- Bruker regel: hvis ln p = x, da er p = e^x

x^2 = e^1 + 2

x = [symbol:rot] e + 2

x ~ 2.17


Fremgangsmåte 2:

ln (x/2) = 1 - ln x

- Bruker regel: hvis ln p = x, da er p = e^x

x/2 = e^1 - x

- Multipliserer med 2

x = (e^1 - x)2

- Flytter over

3x = 2e

x = 2e/3

x ~ 1.81


Fremgangsmåte 3:

ln (x/2) = 1 - ln x

- Bruker regel: ln (a/b) = ln a - ln b

ln x - ln 2 = 1 - ln x

- Flytter over

ln x + ln x = 1 + ln 2

- Bruker regel: hvis ln p = x, da er p = e^x

x + x = e^1 + 2

2x = e + 2

x = (e+2)/2

x ~ 2. 359

Her har jeg fått forskjellige svar og det kan ikke stemme. Det hadde vært fint om noen kunne løse oppgaven riktig og i tillegg si hva jeg har gjort feil. Dette er oppgave 517 b) i "Matematikk R1" og fasiten sier: x = [symbol:rot]2e ~ 2.33

[Vektormannen]

Velkommen til forumet!

Det du gjør feil i alle tilfellene er at du antar at [tex]e^{a+b} = e^a + e^b[/tex]. Det er galt! Når du opphøyer noe i en sum så er det lik produktet av grunntallet opphøyd i hvert ledd. Det vil si: [tex]e^{a+b} = e^a \cdot e^b[/tex].

Så i den første fremgangsmåten får du [tex]x^2 = e^{1 + \ln 2} = e^1 \cdot e^{\ln 2} = 2e[/tex]

Da ser du at du får fasitsvaret når du tar kvadratroten.

Denne feilen har skjedd i de andre også. Gjør du det riktig i der også så får du nok fasitsvaret med de metodene også.

[Kork]

Det riktige svaret er

[Vektormannen]

Det er mer riktig å si [tex]x = \sqrt{2e}[/tex] :p

[Nebuchadnezzar]

ca lik 2

[Kork]

men mindre gøy

[Zew]

Løsningen:

ln (x/2) = 1 - ln x

Bruker regel: ln (a/b) = ln a - ln b

ln x - ln 2 = 1 - ln x

Flytter over:

ln x + ln x = 1 + ln 2

Bruker regel: ln a + ln b = ln (ab)

ln (x * x) = 1 + ln 2

ln x[sup]2[/sup] = 1 + ln 2

Bruker regel: Hvis ln x = t, da er x = e[sup]t[/sup]. t betyr da alt på høyre side, som er (1 + ln 2) og dette skal opphøyes i e.

x[sup]2[/sup] = e[sup]1 + ln 2[/sup]

Bruker regel: e[sup]a + b[/sup] = e[sup]a[/sup] * e[sup]b[/sup]

x[sup]2[/sup] = e[sup]1[/sup] * e[sup]ln 2[/sup]

Bruker regel: e[sup]ln x[/sup] = x

x[sup]2[/sup] = e[sup]1[/sup] * 2

Bruker regel: x[sup]1[/sup] = x

x[sup]2[/sup] = e * 2

Tar kvadratrot på begge sider

x = [symbol:rot]e * 2

Faktorenes orden er likegyldig

x = [symbol:rot]2e

x ~ 2.33

[Bjørken]

Hei ser att dette er omtrent det eg har begynt å jobbe med i forkurset mitt. Altså Logaritmer og ligningar som skal løysast av ulik sort og grafisk tegning av desse. Er det ein plass eg kan få tak i grunnleggande opplæring i ligningsløysing av dette slaget. Er matteboka R1 bra. Ev link til sider på nettet?.

Mvh
Bjørken