Sant, og sant. Blandet 0 med Ø en liten stund.
Hva med:
[tex]r_1e=r_2(1-e)[/tex]. Ganger med (1-e) => [tex]r_1e(1-e)=r_1e-r_1e = 0 = r_2(1-e)[/tex] => [tex]0e=0=r_2(1-e)e = r_2e-r_2e=0[/tex]. Nå har jeg jo i all effekt vist at 0=0. Ugg.
Primiske og hovedideal (og diverse algebra)
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Se der ja. Da var det jo greit.
Har nå kommet til oppgavene som har med moduler å gjøre.
Skal vise at en relativt innviklet struktur er en modul.
"Let k be a field, and let V be a finite dimensional vector space over k. Let T:V->V be an arbitrary linear map. Let R = k[x].
Define for each [tex]f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n[/tex] in R and v in V:
[tex]f(x)\cdot v = f(T)(v) = a_0v + a_1T (v) + \cdots + a_nT^n(v)[/tex].
Å vise at [tex]f(x)(v_1+v_2)=f(x)v_1+f(x)v_2[/tex] følger av at f(T)(v) er lineær i alle ledd. [tex](f(x)+g(x))(v)[/tex], følger hvis vi skriver [tex]h(x)=f(x)+g(x)[/tex], og siden R er en kropp.
Jeg har derimot litt problemer med å vise assosiativitet ([tex](f(x)g(x))v=f(x)(g(x)v)[/tex]). Prøvde å finne på en måte jeg kunne slenge de sammen for så å trekke ut f(x) som en faktor, men det ble mye rot. Noen tips?
Vet heller ikke helt hvordan jeg skal vise at [tex]1_R v = v[/tex]. 1 i R er vel det konstante polynomet hvor a_0 er lik 1 i k, men da forsvant alle v-ene!
Har nå kommet til oppgavene som har med moduler å gjøre.
Skal vise at en relativt innviklet struktur er en modul.
"Let k be a field, and let V be a finite dimensional vector space over k. Let T:V->V be an arbitrary linear map. Let R = k[x].
Define for each [tex]f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n[/tex] in R and v in V:
[tex]f(x)\cdot v = f(T)(v) = a_0v + a_1T (v) + \cdots + a_nT^n(v)[/tex].
Å vise at [tex]f(x)(v_1+v_2)=f(x)v_1+f(x)v_2[/tex] følger av at f(T)(v) er lineær i alle ledd. [tex](f(x)+g(x))(v)[/tex], følger hvis vi skriver [tex]h(x)=f(x)+g(x)[/tex], og siden R er en kropp.
Jeg har derimot litt problemer med å vise assosiativitet ([tex](f(x)g(x))v=f(x)(g(x)v)[/tex]). Prøvde å finne på en måte jeg kunne slenge de sammen for så å trekke ut f(x) som en faktor, men det ble mye rot. Noen tips?
Vet heller ikke helt hvordan jeg skal vise at [tex]1_R v = v[/tex]. 1 i R er vel det konstante polynomet hvor a_0 er lik 1 i k, men da forsvant alle v-ene!
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Blir vel å definere [tex]f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n [/tex], og [tex]g(x)=b_0+b_1x+...+b_mx^m [/tex], finn produktet h=fg av disse. Bruk definisjonen av produktet [tex]h\cdot v[/tex].
På den annen side, la [tex]w=g(x)v[/tex]. fw blir da [tex]a_0w+a_1T(w)+...[/tex]. Sett inn for [tex]w=b_0v+b_1T(v)+...[/tex] etc.
Ganske rett frem oppgave, om enn noe knotete å skrive ut eksplisitt.
[tex]1\cdot v [/tex] blir da v. ([tex]a_0=1[/tex])
"og siden R er en kropp. "
R er vel ingen kropp siden den ikke har en multiplikativ invers..
På den annen side, la [tex]w=g(x)v[/tex]. fw blir da [tex]a_0w+a_1T(w)+...[/tex]. Sett inn for [tex]w=b_0v+b_1T(v)+...[/tex] etc.
Ganske rett frem oppgave, om enn noe knotete å skrive ut eksplisitt.
[tex]1\cdot v [/tex] blir da v. ([tex]a_0=1[/tex])
"og siden R er en kropp. "
R er vel ingen kropp siden den ikke har en multiplikativ invers..
Ja, det var bare veldig mye knot. Mer enn jeg orker å skrive ut eksplisitt kanskje. Jeg skjønner jo at det er slik. Dersom en danner et polynom h=fg vil det jo bære gjennom og en kan splitte de ut igjen etter multiplikasjonen.
Ja, så klart. Fordi konstantpolynomet har jo bare koeffisient i k, og V er et vektorrom over k. Så da følger det jo.
Spørsmål:
I boken står det at hvis vi har en familie A_1, ... , A_n med høyre ideal i en ring R, så er det minste høyre idealet av R som inneholder alle A_1 ... A_n (altså snittet av alle høyre ideal i R som inneholder hver A_i) kalt summen av A_1 ... A_n. Så beviser de at denne er lik [tex]S = \left{a_1 + \cdots + a_n | a_i \in A_i \right}[/tex]. Så kommer et annet teorem som sier at summen av idealene S er en direkte sum (altså at hvert element i S er unikt representert som en sum av elementer i idealene) hvis og bare hvis:
[tex]A_i \cap \sum_{j=1, j\neq i}^{n}A_j = (0)[/tex].
Er det da her snakk om snitt som i snitt, eller snitt som i sum? Noe forvirret.
Enda en ting:
De sier at hvis denne familien med ideal er en direkt sum, så skriver vi:
[tex]S=A_1 \oplus \cdots \oplus A_n = \oplus \sum_{i=1}^{n}A_i[/tex]. Senere sier de så at dette er den "(internal) direct sum" og at det direkte produktet A_1 x ... x A_n kalles det "(external) direct sum" og at notasjonen: [tex]A_1 \oplus \cdots \oplus A_n[/tex] ofte blir brukt.
Da klaffer det litt for meg, for dette blir jo fort tvetydig? Hvordan vet en hvorvidt en snakker om et direkte produkt, eller en direkte sum?
Ja, så klart. Fordi konstantpolynomet har jo bare koeffisient i k, og V er et vektorrom over k. Så da følger det jo.
Spørsmål:
I boken står det at hvis vi har en familie A_1, ... , A_n med høyre ideal i en ring R, så er det minste høyre idealet av R som inneholder alle A_1 ... A_n (altså snittet av alle høyre ideal i R som inneholder hver A_i) kalt summen av A_1 ... A_n. Så beviser de at denne er lik [tex]S = \left{a_1 + \cdots + a_n | a_i \in A_i \right}[/tex]. Så kommer et annet teorem som sier at summen av idealene S er en direkte sum (altså at hvert element i S er unikt representert som en sum av elementer i idealene) hvis og bare hvis:
[tex]A_i \cap \sum_{j=1, j\neq i}^{n}A_j = (0)[/tex].
Er det da her snakk om snitt som i snitt, eller snitt som i sum? Noe forvirret.
Enda en ting:
De sier at hvis denne familien med ideal er en direkt sum, så skriver vi:
[tex]S=A_1 \oplus \cdots \oplus A_n = \oplus \sum_{i=1}^{n}A_i[/tex]. Senere sier de så at dette er den "(internal) direct sum" og at det direkte produktet A_1 x ... x A_n kalles det "(external) direct sum" og at notasjonen: [tex]A_1 \oplus \cdots \oplus A_n[/tex] ofte blir brukt.
Da klaffer det litt for meg, for dette blir jo fort tvetydig? Hvordan vet en hvorvidt en snakker om et direkte produkt, eller en direkte sum?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Det er jo forskjell på snittet av to idealer A og B, kontra det minste idealet som inneholder både A og B.wingeer wrote: I boken står det at hvis vi har en familie A_1, ... , A_n med høyre ideal i en ring R, så er det minste høyre idealet av R som inneholder alle A_1 ... A_n (altså snittet av alle høyre ideal i R som inneholder hver A_i) kalt summen av A_1 ... A_n. Så beviser de at denne er lik [tex]S = \left{a_1 + \cdots + a_n | a_i \in A_i \right}[/tex]. Så kommer et annet teorem som sier at summen av idealene S er en direkte sum (altså at hvert element i S er unikt representert som en sum av elementer i idealene) hvis og bare hvis:
[tex]A_i \cap \sum_{j=1, j\neq i}^{n}A_j = (0)[/tex].
Er det da her snakk om snitt som i snitt, eller snitt som i sum? Noe forvirret.
Enda en ting:
De sier at hvis denne familien med ideal er en direkt sum, så skriver vi:
[tex]S=A_1 \oplus \cdots \oplus A_n = \oplus \sum_{i=1}^{n}A_i[/tex]. Senere sier de så at dette er den "(internal) direct sum" og at det direkte produktet A_1 x ... x A_n kalles det "(external) direct sum" og at notasjonen: [tex]A_1 \oplus \cdots \oplus A_n[/tex] ofte blir brukt.
Da klaffer det litt for meg, for dette blir jo fort tvetydig? Hvordan vet en hvorvidt en snakker om et direkte produkt, eller en direkte sum?
"Er det da her snakk om snitt som i snitt, eller snitt som i sum?"
Det er vanlig snitt.
Direktesummen av to idealer A og B er altså summen A+B med den ekstra betingelsen at [tex]A\cap B=\{0\}[/tex].
Det fremgår jo som regel av sammenhengen hva som menes med direktesum eller direkteprodukt.
Står da så i boken. Jeg kan sitere:
"Let [tex]A_1,A_2, ... , A_n[/tex] be a family of right ideals in a ring R. Then the smallest right ideals of R containing each [tex]A_i, 1 \leq i \leq n[/tex] (that is, the intersection of all the right ideals in R containing each [tex]A_i[/tex]), is called the sum of [tex]A_1,A_2, ... , A_n[/tex]."
Ok. Da var det som jeg trodde. Takk!
Jeg er ikke alltid sikker, hvertfall. Slik som den oppgaven tidligere i tråden her hvor vi hadde et direkte produkt, var det riktig å tolke dette slik jeg gjorde, eller skulle det vært et direkte produkt? Forvirrende når en bruker samme notasjon for to ting.
Har en annen oppgave jeg er litt usikker på. Den er på en måte delt opp i to.
La [tex]K_1 \oplus K_2[/tex] og [tex]L_1 \oplus L_2[/tex] være direkte summer av undermoduler av M slik at:
[tex]K_1 \oplus K_2 = L_1 \oplus L_2[/tex].
Vis at hvis [tex]K_1=L_1[/tex] så trenger ikke nødvendigvis [tex]K_2=L_2[/tex].
Er det her riktig å tolke det som en sum? Senere skal jeg vise at K_2 er isomorf med L_2 og da tenker jeg automatisk av en eller annen grunn at det er produkt?
"Let [tex]A_1,A_2, ... , A_n[/tex] be a family of right ideals in a ring R. Then the smallest right ideals of R containing each [tex]A_i, 1 \leq i \leq n[/tex] (that is, the intersection of all the right ideals in R containing each [tex]A_i[/tex]), is called the sum of [tex]A_1,A_2, ... , A_n[/tex]."
Ok. Da var det som jeg trodde. Takk!
Jeg er ikke alltid sikker, hvertfall. Slik som den oppgaven tidligere i tråden her hvor vi hadde et direkte produkt, var det riktig å tolke dette slik jeg gjorde, eller skulle det vært et direkte produkt? Forvirrende når en bruker samme notasjon for to ting.
Har en annen oppgave jeg er litt usikker på. Den er på en måte delt opp i to.
La [tex]K_1 \oplus K_2[/tex] og [tex]L_1 \oplus L_2[/tex] være direkte summer av undermoduler av M slik at:
[tex]K_1 \oplus K_2 = L_1 \oplus L_2[/tex].
Vis at hvis [tex]K_1=L_1[/tex] så trenger ikke nødvendigvis [tex]K_2=L_2[/tex].
Er det her riktig å tolke det som en sum? Senere skal jeg vise at K_2 er isomorf med L_2 og da tenker jeg automatisk av en eller annen grunn at det er produkt?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Ah, da skjønner jeg det bedre. Det som menes her er at direktesummen av [tex]A_i[/tex]-ene er det samme som snittet av alle idealer i R som inneholder alle [tex]A_i[/tex]-ene. (altså ikke snittet av [tex]A_i[/tex]-ene)wingeer wrote:Står da så i boken. Jeg kan sitere:
"Let [tex]A_1,A_2, ... , A_n[/tex] be a family of right ideals in a ring R. Then the smallest right ideals of R containing each [tex]A_i, 1 \leq i \leq n[/tex] (that is, the intersection of all the right ideals in R containing each [tex]A_i[/tex]), is called the sum of [tex]A_1,A_2, ... , A_n[/tex]."
Var da riktig å tolke det som indre (internal) direktesum.wingeer wrote: var det riktig å tolke dette slik jeg gjorde, eller skulle det vært et direkte produkt?
Last edited by Gustav on 17/11-2011 23:50, edited 1 time in total.
Du kan nok tolke [tex]K_1\oplus K_2[/tex] som indre direktesum (siden [tex]K_1, K_2, L_1, L_2[/tex] er undermoduler av en felles modul). Dvs. at [tex]K_1\oplus K_2=\{k_1+k_2|k_1\in K_1, k_2\in K_2 \}[/tex] der [tex]K_1\cap K_2=\{0\}[/tex] etc. Den indre direktesummen er for øvrig isomorf med den ytre direktesummen som består av [tex]\{(k_1,k_2)| k_1\in K_1,k_2\in K_2\}[/tex]wingeer wrote: La [tex]K_1 \oplus K_2[/tex] og [tex]L_1 \oplus L_2[/tex] være direkte summer av undermoduler av M slik at:
[tex]K_1 \oplus K_2 = L_1 \oplus L_2[/tex].
Vis at hvis [tex]K_1=L_1[/tex] så trenger ikke nødvendigvis [tex]K_2=L_2[/tex].
Er det her riktig å tolke det som en sum? Senere skal jeg vise at K_2 er isomorf med L_2 og da tenker jeg automatisk av en eller annen grunn at det er produkt?
Du kan jo f.eks. se på en modul M som består av tupler [tex](x,y)[/tex] i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Dette er jo en additiv abelsk gruppe der addisjon foregår komponentvis. Vi kan lage en modul ved å tillate skalarmultiplikasjon med elementer r i ringen av reelle tall: r(x,y)=(rx,ry).
Undermoduler av M vil da f.eks. være mengden av tupler {(x,0)} (x reell), eller mengden {(0,y)} (y reell). Så hvis vi lar [tex]K_1=L_1=\{(x,0)|x\in \mathbb{R}\} [/tex] og [tex]K_2=\{(0,y)|y\in \mathbb{R}\}[/tex], så vil [tex]K_1\oplus K_2=M[/tex].
Du må nå finne en undermodul [tex]L_2\neq K_2[/tex] slik at [tex]L_1\oplus L_2=M [/tex]
Takk for gode svar og også for oppklaringen mellom de forskjellige typene sum/produkt, som det ser ut som om du fjernet i etterkant?
I henhold til eksempelet vil vel (0,2y) være en undermodul som sammen med (x,0) genererer R^2, siden både x og y er valgt reelle tall.
Hvordan en viser at det generelt må være slik at L_2 og K_2 er isomorfe har jeg litt større problemer med. Noen ord om hvor det er lurt å begynne?
I henhold til eksempelet vil vel (0,2y) være en undermodul som sammen med (x,0) genererer R^2, siden både x og y er valgt reelle tall.
Hvordan en viser at det generelt må være slik at L_2 og K_2 er isomorfe har jeg litt større problemer med. Noen ord om hvor det er lurt å begynne?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
[tex]\{(0,2y)|y\in\mathbb{R})\}=\{(0,y)|y\in\mathbb{R})\}[/tex] som mengder.I henhold til eksempelet vil vel (0,2y) være en undermodul som sammen med (x,0) genererer R^2, siden både x og y er valgt reelle tall.
La f.eks. [tex]L_2=\{(z,z)|z\in\mathbb{R})\}[/tex]. Da er [tex]L_2\neq K_2[/tex], [tex]L_1\cap L_2=\{0\}[/tex], og [tex]L_1\oplus L_2=M=K_1\oplus K_2[/tex].
Spesielt er [tex]L_2[/tex] isomorf med [tex]K_2[/tex]: [tex]f: (0,y)\to (y,y) [/tex].
Får komme tilbake til det generelle tilfellet
Det er nok sant, ja.
Men vil snittet av disse to være null? Det vil vel finnes en z ulik 0 slik at z=x?
Har nå kommet til det jeg tror jeg synes er den vanskeligste delen av faget. Semisimple moduler.
Først skal jeg vise at hvis M er semisimpel og K er en undermodul av M vil M/K være semisimpel. Jeg ser da på den "naturlige homomorfien" phi fra M til M/K og plukker meg ut en undermodul av M/K, kall den U. Da vil [tex][tex][/tex]\Phi^{-1}[/tex] være en undermodul av M siden Phi er surjektiv og beholder undermodulstrukturen, og siden M er semisimpel betyr det da at det finnes en direkte sum av simple undermoduler, kall denne summen N slik at [tex][tex][/tex]\Phi^{-1}+N=M[/tex] og [tex][tex][/tex]\Phi^{-1} \cap N=(0)[/tex].
Så ser vi på [tex][tex][/tex]U+\Phi[N]=\Phi(\Phi^{-1}+N)=\Phi(M)=M/K[/tex] og [tex][tex][/tex]U \cap \Phi[N] = \Phi(\Phi^{-1}) \cap \Phi[N] = \Phi(\Phi^{-1} \cap N) = \Phi((0))=(0)[/tex]. Jeg er litt usikker på det siste steget hvor jeg trekker ut Phi gjennom snittet. Er dette tillatt? Jeg skulle jo tro det stemmer, men det er greit å få det bekreftet, eventuelt få vite når det gjelder og når det ikke gjelder. Ser det ellers greit ut?
Skal også vise at [tex]Z/(p_1 p_2)[/tex] hvor p-ene er primtall er semisimpel Z-modul. Vi vet at vi kan dekomponere modulen til: [tex] Z/(p_1) x Z/(p_2)[/tex], men hver av disse er en kropp, og har følgelig ingen nontrivielle undermoduler, derfor må de være simple og vi har vist at ringen kan skrives som en (ekstern) direkte sum av simple undermoduler.
Litt usikker på denne. Jeg har vel vist at [tex] Z/(p_1)[/tex] kun har simple [tex] Z/(p_1)[/tex]-undermoduler. Men holder dette?
Men vil snittet av disse to være null? Det vil vel finnes en z ulik 0 slik at z=x?
Har nå kommet til det jeg tror jeg synes er den vanskeligste delen av faget. Semisimple moduler.
Først skal jeg vise at hvis M er semisimpel og K er en undermodul av M vil M/K være semisimpel. Jeg ser da på den "naturlige homomorfien" phi fra M til M/K og plukker meg ut en undermodul av M/K, kall den U. Da vil [tex][tex][/tex]\Phi^{-1}[/tex] være en undermodul av M siden Phi er surjektiv og beholder undermodulstrukturen, og siden M er semisimpel betyr det da at det finnes en direkte sum av simple undermoduler, kall denne summen N slik at [tex][tex][/tex]\Phi^{-1}+N=M[/tex] og [tex][tex][/tex]\Phi^{-1} \cap N=(0)[/tex].
Så ser vi på [tex][tex][/tex]U+\Phi[N]=\Phi(\Phi^{-1}+N)=\Phi(M)=M/K[/tex] og [tex][tex][/tex]U \cap \Phi[N] = \Phi(\Phi^{-1}) \cap \Phi[N] = \Phi(\Phi^{-1} \cap N) = \Phi((0))=(0)[/tex]. Jeg er litt usikker på det siste steget hvor jeg trekker ut Phi gjennom snittet. Er dette tillatt? Jeg skulle jo tro det stemmer, men det er greit å få det bekreftet, eventuelt få vite når det gjelder og når det ikke gjelder. Ser det ellers greit ut?
Skal også vise at [tex]Z/(p_1 p_2)[/tex] hvor p-ene er primtall er semisimpel Z-modul. Vi vet at vi kan dekomponere modulen til: [tex] Z/(p_1) x Z/(p_2)[/tex], men hver av disse er en kropp, og har følgelig ingen nontrivielle undermoduler, derfor må de være simple og vi har vist at ringen kan skrives som en (ekstern) direkte sum av simple undermoduler.
Litt usikker på denne. Jeg har vel vist at [tex] Z/(p_1)[/tex] kun har simple [tex] Z/(p_1)[/tex]-undermoduler. Men holder dette?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
[tex]\{(x,x)| x\in\mathbb{R}\}\cap \{(0,x)|x\in\mathbb{R}\}=\{(0,0)\}[/tex]Men vil snittet av disse to være null? Det vil vel finnes en z ulik 0 slik at z=x?
Først skal jeg vise at hvis M er semisimpel og K er en undermodul av M vil M/K være semisimpel. Jeg ser da på den "naturlige homomorfien" phi fra M til M/K og plukker meg ut en undermodul av M/K, kall den U. Da vil [tex][tex][/tex]\Phi^{-1}[/tex] være en undermodul av M siden Phi er surjektiv og beholder undermodulstrukturen, og siden M er semisimpel betyr det da at det finnes en direkte sum av simple undermoduler, kall denne summen N slik at [tex][tex][/tex]\Phi^{-1}+N=M[/tex] og [tex][tex][/tex]\Phi^{-1} \cap N=(0)[/tex].
Så ser vi på [tex][tex][/tex]U+\Phi[N]=\Phi(\Phi^{-1}+N)=\Phi(M)=M/K[/tex] og [tex][tex][/tex]U \cap \Phi[N] = \Phi(\Phi^{-1}) \cap \Phi[N] = \Phi(\Phi^{-1} \cap N) = \Phi((0))=(0)[/tex].
Ser greit ut, men jeg tror man kan vise at [tex][tex][/tex]\Phi(\Phi^{-1}) \cap \Phi[N] \subseteq \Phi(\Phi^{-1} \cap N)[/tex]
Skal også vise at [tex]Z/(p_1 p_2)[/tex] hvor p-ene er primtall er semisimpel Z-modul. Vi vet at vi kan dekomponere modulen til: [tex] Z/(p_1) x Z/(p_2)[/tex], men hver av disse er en kropp, og har følgelig ingen nontrivielle undermoduler, derfor må de være simple og vi har vist at ringen kan skrives som en (ekstern) direkte sum av simple undermoduler.
Litt usikker på denne. Jeg har vel vist at [tex] Z/(p_1)[/tex] kun har simple [tex] Z/(p_1)[/tex]-undermoduler. Men holder dette?
Kan jo se det på denne måten: Z/(p), p primtall, er enkle (simple) fordi enhver undergruppe må ha orden som deler p. Altså enten 1 eller p. Så det fins ingen ikketrivielle, ekte undergrupper, og derfor ingen ikketrivielle, ekte undermoduler.
Ja, det gir jo egentlig mening hvis en tenker over det som koordinater i planet. Det eneste stedet de skjærer hverandre er jo origo, som er et nullelement.
Vel, men i så fall går det jo helt greit, for hvis det må være en undermengde av mengden med kun et nullelement er det jo tydelig at det må være likhet siden nullelementet er en undermengde motsatt vei.
Lyst til å skissere/linke til et bevis?
Vil en med det argumentet si at det ikke finnes noen ikketrivielle Z-undermoduler? Eller spiller det egentlig ikke noen rolle, siden en vilkårlig undermodul bare er en lukket undergruppe som også er lukket under skalarmultiplikasjon. Hvis det kun eksisterer trivielle undergrupper er vi jo egentlig like langt hva ikketrivielle undermoduler angår.
Vel, men i så fall går det jo helt greit, for hvis det må være en undermengde av mengden med kun et nullelement er det jo tydelig at det må være likhet siden nullelementet er en undermengde motsatt vei.
Lyst til å skissere/linke til et bevis?
Vil en med det argumentet si at det ikke finnes noen ikketrivielle Z-undermoduler? Eller spiller det egentlig ikke noen rolle, siden en vilkårlig undermodul bare er en lukket undergruppe som også er lukket under skalarmultiplikasjon. Hvis det kun eksisterer trivielle undergrupper er vi jo egentlig like langt hva ikketrivielle undermoduler angår.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Moduler er jo bare generalisering av vektorrom. I dette konkrete tilfellet kan du jo bare tenke på det som vanlig vektorrom over de reelle tall.Ja, det gir jo egentlig mening hvis en tenker over det som koordinater i planet. Det eneste stedet de skjærer hverandre er jo origo, som er et nullelement.
En Z-undermodul av en Z-modul M er jo ikke annet enn en undergruppe av M som er lukket under multiplikasjon med elementer fra Z. Siden vi vet at det ikke fins ikketrivielle, ekte undergrupper av Z/(p) når p er primtall, kan det heller ikke eksistere ikketrivielle, ekte Z-undermoduler av Z-modulen Z/(p).Vil en med det argumentet si at det ikke finnes noen ikketrivielle Z-undermoduler? Eller spiller det egentlig ikke noen rolle, siden en vilkårlig undermodul bare er en lukket undergruppe som også er lukket under skalarmultiplikasjon. Hvis det kun eksisterer trivielle undergrupper er vi jo egentlig like langt hva ikketrivielle undermoduler angår. :)