Vektorer, Romfigurer, R2

[RCL]

Hei
Sliter litt med en oppgave her..

Har oppgitt kuleflaten x^2+y^2+z^2-4x+4y-8z=1

Fant i oppgave a) Sentrum=(2,-2,4) og radius=5

Så kommer problemet
Oppg. b) Et plan har likning x-2y-2z=.
Snittsirkelen mellom dette planet og kuleflaten har radius 4. Bestem k.

Ser ikke helt hvor jeg skal begynne her.. Noen forslag til fremgangsmåte?

På forhånd takk for all hjelp! [/i]

[Vektormannen]

Her er det nok mange måter å komme i mål på. Det første som faller meg inn er å se på en figur:



Kan du finne avstanden fra senter til planet basert på denne figuren? Se på en av trekantene. Du kjenner to av sidene, og trekanten er rettvinklet. Kan du tenke deg hvordan du da kan finne k?

Jeg regner forresten med at k er konstanten som skal stå til høyre for likhetstegnet? Ser ut som du har glemt å skrive den.

[RCL]

Hei igjen!

Da tenker jeg som følger;

Pytagoras og avstandsformelen for punkt og plan gir 2 uttrykk for høyden. i Avstandsformelen setter jeg d lik k, og regner meg deretter fram til k..
men dette blir også feil, i tillegg til at jeg skal få to løsninger.. mulig jeg bare har regnet feil men har på følelsen at jeg dro meg enda lenger ned i sumpa her?

[Janhaa]

Hei igjen!
Da tenker jeg som følger;
Pytagoras og avstandsformelen for punkt og plan gir 2 uttrykk for høyden. i Avstandsformelen setter jeg d lik k, og regner meg deretter fram til k..
men dette blir også feil, i tillegg til at jeg skal få to løsninger.. mulig jeg bare har regnet feil men har på følelsen at jeg dro meg enda lenger ned i sumpa her?

er k = -11 eller k = 7...

[RCL]

Hei igjen!
Da tenker jeg som følger;
Pytagoras og avstandsformelen for punkt og plan gir 2 uttrykk for høyden. i Avstandsformelen setter jeg d lik k, og regner meg deretter fram til k..
men dette blir også feil, i tillegg til at jeg skal få to løsninger.. mulig jeg bare har regnet feil men har på følelsen at jeg dro meg enda lenger ned i sumpa her?

er k = -11 eller k = 7...

Det stemmer!

[Vektormannen]

Hei igjen!

Da tenker jeg som følger;

Pytagoras og avstandsformelen for punkt og plan gir 2 uttrykk for høyden. i Avstandsformelen setter jeg d lik k, og regner meg deretter fram til k..
men dette blir også feil, i tillegg til at jeg skal få to løsninger.. mulig jeg bare har regnet feil men har på følelsen at jeg dro meg enda lenger ned i sumpa her?

Dette burde gi riktig svar det! Du har muligens gjort en regnefeil eller slurvefeil. Hva satte du opp?

Edit: når det gjelder antall løsninger så må du huske på at det er et absoluttverditegn i avstandsformelen.

[RCL]

Fant regnefeilen nå.. Rett og slett slurv!

Tusen takk for hjelpen!

[Vektormannen]

Flott!

Dette kan som sagt løses på mange måter. Dersom du ikke hadde komt på avstandsformelen så kunne du funnet k på andre måter. Det du vet er at hvis du går fra sentrum og så i en avstand 3 i retningen som normalvektoren peker (eller stikk motsatt retning) så vil du havne i et punkt som du vet ligger i planet. Vi har at normalvektoren til planet er [tex]\vec{n} = [1,-2,-2][/tex]. Lengden av denne er [tex]\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3[/tex]. Det betyr at om vi står i sentrum og går langs normalvektoren så kommer vi til et punkt som ligger i planet. Dette punktet P har koordinatene [tex]\vec{OP} = \vec{OS} + \vec{n} = [2,-2,4] + [1,-2,-2] = [3,-4,-2][/tex]. Vi vet at dette punktet skal ligge i planet, så vi vet at planligningen blir oppfylt når vi setter inn punktets koordinater:

[tex]3 - 2(-4) - 2(-2) = k \ \Rightarrow \ k = 7[/tex]

Det andre punktet Q finner vi ved å gå fra sentrum og i stikk motsatt retning av normalvektoren: [tex]\vec{OQ} = \vec{OS} - \vec{n}[/tex]. Fortsetter vi som ovenfor og setter opp at punktet skal ligge i planet, får vi k = -11.