Integral maraton !

[mstud]

http://www.physicsforums.com/showpost.p ... tcount=272

Mesteparten av mine favoritter.

Du er i det forumet også, ser jeg (overalt?) ^^

Får se om jeg tar noen hvis jeg vil ha noe gøy å gjøre på...
I så fall: "How shall I get my answer checked?" WolframAlpha tar ikke alle de der (og ikke jeg heller)

[Nebuchadnezzar]

Spør meg :p

Eller spør her.

Eller les latex dokumentet mitt når det en gang blir ferdig. Skjelletet er ferdig, og skal snart begynne på en del grunnleggende organ.

[mstud]

Slenger på to, tre luringer som kan bli løst ved substitusjon. Og det er vel noe alle har lært.

[tex]I_B \, = \, \int \frac{1}{\sqrt{x+x\sqrt{x}}} dx[/tex]

[tex]I_C \, = \, \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}+x} dx[/tex]

Her er en sammling integraler som jeg har postet før, nå er den atter en gang oppdatert. Og de lette integralene her, er ting alle klarer.

http://www.2shared.com/document/vvHpma_ ... _to_Z.html

Får prøve et her, da, så får vi se om jeg har glemt all integrasjonskunst i sommerferien, håper ikke det ...:

[tex]I_B \, = \, \int \frac{1}{\sqrt{x+x\sqrt{x}}} dx \\ \\ u=\sqrt {x} \\ gir du= (\frac 1{2 \sqrt {x}}) \ dx \\ \\ \text{Da blir:} \\ I_B \, = \, \int \frac{1}{\sqrt{x+x\sqrt{x}}} du \\ =2 \int \frac u{u^2+u^3} du \\ = 2\int \frac 1{u(1+u)} du \\ = 2\int (\frac 1{u} - \frac 1{1+u}) du\\ = 2( log(u)-log(1+u))+ C \\ = 2log(\sqrt{x}) -2log(1+\sqrt(x)) + C = log(x) -2log(1+\sqrt(x)) + C [/tex]

Er den grei ...

EDIT: latex dokumenter tar vel tid å få ferdig, ja. særlig hvis d skal utvides like fort som integralsamlingen ^^

[Nebuchadnezzar]

[tex]I_B \, = \, \int \frac{dx}{\sqrt{x} \sqrt{1 + \sqrt{x}}}[/tex]

Tror du regnet litt feil, om du setter [tex]u=\sqrt{x}[/tex] her, får i det minste jeg ikke helt det samme som deg.

Alterntivt kan du herfra sette [tex]u=\sqrt{1+\sqrt{x}}[/tex]

Alternativ metode =)

[mstud]

[tex]I_B \, = \, \int \frac{dx}{\sqrt{x} \sqrt{1 + \sqrt{x}}}[/tex]

Og herfra kan vi sette [tex]u=\sqrt{1+\sqrt{x}}[/tex]

Alternativ metode =)

R nok alternativ metode til det jeg gjør,ja...

Hvis ikke det er flere måter å løse et integral på er det stor fare for at jeg ikke finner den eneste mulige. Hm, da finner jeg vel heller en umulig måte =].

[Nebuchadnezzar]

Skrev at du regnet feil, ikke at det var feil metode. Jeg liker sjappe, røvere mens andre liker standardmaskineri, smaken er som baken.

[Nebuchadnezzar]

Da prøver vi oss med et par luringer til

[tex]I \, = \, \int \frac{2x-9\sqrt{x}+9}{x - 3\sqrt{x}} dx [/tex]

[tex]\large I \, = \, \lim_{n \to \infty} \int_{1}^{0} \sum_{k=1}^{n} \left( \ln \left( \sqrt[k^2]{x} \right) \right) dx[/tex]

[tex]I \, = \, \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{e} e^x \cdot \sqrt[n]{x} + \frac{1}{e} \, dx [/tex]

[tex]I \, = \, \lim_{a \to \infty} \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt[a] {1 - \sqrt[a]{x}} \, dx[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Da klarte jeg endelig en av mine store nemesiser når det kommer til integral. Husker at jeg prøvde meg på denne tidligere i tråden, men uten hell.

Er derfor gledelig å komme tilbake, å takle denne røveren. Har alltid fryktet å løse dette integralet, så det har alltid ligget langt bak i hodet mitt. Som det store stygge beistet du aldri burde prøve deg på


[tex] I = \int {\frac{1}{{{x^4} + 1}}dx} [/tex]

[tex] I = \int {\frac{1}{{\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right)\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right)}}dx} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{\sqrt 2 - x}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}} + \frac{{\sqrt 2 + x}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}dx} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{\sqrt 2 - x}}{{{{\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} + \frac{{\sqrt 2 + x}}{{{{\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}dx} [/tex]


[tex] A = \int {\frac{{\sqrt 2 - x}}{{{{\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}} dx\quad ,\quad u = x - \frac{1}{{\sqrt 2 }} [/tex]

[tex] A = \int {\frac{{\sqrt 2 - 2u}}{{1 + 2{u^2}}}du} = \int {\frac{{\sqrt 2 }}{{1 + 2{u^2}}} - \frac{{2u}}{{1 + 2{u^2}}}du} [/tex]

[tex] A = \arctan \left( {u\sqrt 2 } \right) - \frac{1}{2}\ln \left| {1 + 2{u^2}} \right| [/tex]

[tex] A = \arctan \left( {\sqrt {2x} - 1} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right) [/tex]


[tex] B = \int {\frac{{\sqrt 2 + x}}{{{{\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}} dx\quad ,\quad p = x + \frac{1}{{\sqrt 2 }} [/tex]

[tex] B = \int {\frac{{\sqrt 2 + 2p}}{{1 + 2{p^2}}}} dx = \int {\frac{{\sqrt 2 }}{{1 + 2{p^2}}} + } \frac{{2p}}{{1 + 2{p^2}}}dx[/tex]

[tex] B = \arctan \left( {p\sqrt 2 } \right) + \frac{1}{2}\ln \left| {1 + 2{p^2}} \right| [/tex]

[tex] B = \arctan \left( {\sqrt 2 x + 1} \right) + \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right) [/tex]


[tex] I = B + A [/tex]

[tex] I = \arctan \left( {\sqrt 2 x + 1} \right) + \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right) + \arctan \left( {\sqrt 2 x - 1} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right) [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}} \right) - \arctan \left( {\frac{{\sqrt 2 x}}{{{x^2} - 1}}} \right) [/tex]

[tex] I = \int {\frac{1}{{{x^4} + 1}}dx} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left[ {\frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}} \right) - \arctan \left( {\frac{{\sqrt 2 x}}{{{x^2} - 1}}} \right)} \right] + \mathcal{C} [/tex]

[Aleks855]

Nice, gratulerer

Hvor sto du fast før?

[Nebuchadnezzar]

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... c&start=30

Nei si det, er ikke godt å si

[Nebuchadnezzar]

[tex]I = \int {\frac{1}{{{x^3} + 1}}dx} = \int {\frac{1}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} [/tex]

[tex] I = \int {\frac{1}{3}\frac{{2 - x}}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \frac{1}{3}\frac{1}{{x + 1}}dx} [/tex]

[tex]I = \frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{1}{3}\int {\frac{3}{2}\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} - \frac{1}{2}\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}dx} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{6}\ln \left| {{x^2} - x + 1} \right| + \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}dx} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} - x + 1} \right| + \frac{1}{2}\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)\arctan \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}2\left( u \right)} \right) + C [/tex]

[tex]I = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} \right| + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right)} \right) + \mathcal{C} [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{{x^3} + 1}}dx} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} \right| + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right)} \right) + \mathcal{C} [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{{x^3} \pm 1}}dx} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x \pm 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} \right| + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {2x \mp 1} \right)} \right) + \mathcal{C} [/tex]

[Nebuchadnezzar]

Prøver vi oss med et lite lett integral. Burde være greit for de fleste

La [tex]I(k) \, = \, \int_{a}^{b} x^{2k}+1 \, dx[/tex]

der [tex]k \in \mathbb{N}[/tex]

a) La [tex]I_M[/tex] være den minste verdien [tex]I(k)[/tex] kan ha for valgte [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex].

b) Evaluer [tex]\lim_{k \to \infty}[/tex] I_M mot når

[Nebuchadnezzar]

[tex]\large \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\,x - 4\,}\,dx[/tex]

[Janhaa]

[tex]\large \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\,x - 4\,}\,dx[/tex]

[tex]\large I=\int_{0}^{4} \frac{dx}{\,\sqrt x + 2\,}[/tex]

osv...

[mstud]

[tex]\large \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\,x - 4\,}\,dx[/tex]

Prøver meg på et kjapt forsøk denne gang, jeg... Aner at jeg ikke hørte hva du tenkte på forrige oppgave :p

[tex]\int_0^4 \frac {\sqrt{x}-2}{x-4} \ dx=\int_0^4 \frac {\sqrt{x}-2}{(\sqrt {x})^2-2^2} \ dx=\int_0^4 \frac {\cancel{\sqrt{x}-2}}{\cancel{(\sqrt{x}-2)}(\sqrt{x}+2)} \ dx=\int_0^4 \frac 1{\sqrt{x}+2} \ dx= \left[ln \left( \sqrt{x}+2\right) \right]_0^4=ln(\sqrt{4} +2)-ln(\sqrt{0}+2)=ln(4)-ln(2)=ln(\frac 42 )=ln 2 \approx 0,693...[/tex]

Fornøyd? (Har ikke sett over, altså. Dette er ikke eksamen. Du er ikke sensor...)

EDIT: Slengte på noen dx-er jeg hadde glømt. men har sikkert feil uansett...