Eksponentialfunksjonen som en uendelig rekke

[svinepels]

La oss si at vi definerer følgende:

[tex]\exp (x) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}[/tex]

Hvordan kan vi da utlede eksponentreglene? Ser for eksempel at

[tex]\exp (0) = 1 + 0 + \frac{0^2}{0!} + \ldots = 1[/tex]


Prøvde meg derimot på [tex]\exp (a+b)=\exp (a) \exp (b)[/tex], men kom ikke lengre:

[tex]\exp(a+b) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+b)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} a^{n-k}b^k \right) [/tex]
[tex]=\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n!}{n!} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!(n-k)!} a^{n-k}b^k \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{n} \frac{a^{n-k}}{(n-k)!}\frac{b^k}{k!} \right)[/tex]

Finnes det noen triks man kan bruke for å komme fram til [tex]\exp(a)\exp(b)[/tex]? Ser egentlig ikke helt hvordan jeg skal få et produkt av to uendelige rekker ut fra alt dette.

[Vektormannen]

Det som mangler nå hvis jeg ikke tar feil, er å bruke Cauchys produktformel (s. 529 i analyseboken.) Står også om det her:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product

[svinepels]

Ah, takk! Satt faktisk nettopp og leste om det. Får sette meg inn i dette da.

Nå blir det å gå løs på [tex]\exp(-x)=1/\exp(x)[/tex]

[svinepels]

Her er et fullført bevis for de som er interesserte:

[tex]\exp(x+y) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+y)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k} \right)[/tex]
[tex] = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n!}{n!} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n \frac{a^k}{k!} \frac{b^{n-k}}{(n-k)!}[/tex]
[tex]= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{b^n}{n!} = \exp (x) \exp (y)[/tex]

Nå beviser jeg en annen velkjent eksponentregel:

[tex]\exp (m) = (\exp (1))^m[/tex] for [tex]m \in \{ 0, 1, \ldots \}[/tex]

Bevis:
Bruker induksjon. Siden jeg tidligere viste at exp 0 = 1, holder det trivielt at
[tex]\exp (0) = 1 = (\exp(1))^0[/tex]

Antar så at formelen stemmer for m=k. Bruker vi regelen jeg beviste i starten av posten, ser vi at

[tex]\exp(k+1) = \exp(k) \exp(1) = (\exp(1))^k \exp(1) = (\exp(1)^{k+1}[/tex]

Dermed stemmer formelen for alle ikke-negative heltall m, ved induksjonsprinsippet.

---

Nå har jeg kommet til regelen

[tex]\exp (x-y) = \frac{\exp(x)}{\exp(y)}[/tex]

Kan man bevise at [tex]\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}[/tex], vil regelen over være et direkte korollar. Men kan man igjen bevise at [tex]\exp(-1)=\frac{1}{\exp(1)}[/tex], vil man vel ved induksjon kunne bevise forrige regel igjen. Altså må vi vise at

[tex]\exp(-1) = \frac{1}{\exp(1)}[/tex]

---

[tex]\exp(-1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}[/tex]

Har egentlig ikke den fjerneste anelse på hvordan jeg skal ende opp med uttrykket

[tex]\frac{1}{\exp(1)} = \frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}}[/tex]

Noen som har noen forslag/hint?

[Vektormannen]

Mitt forslag er å heller vise at [tex]\exp(-1)\exp(1) = 1[/tex]. Da bør det gå veldig greit (ved å igjen benytte Cauchys produktregel.)

Når jeg tenker meg om, er det i det hele tatt nødvendig å vise den regelen igjen? Du har fra før vist at [tex]\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)[/tex]. Under dette beviset er det ikke gjort noen begrensninger på x og y. Så fra dette følger det vel at [tex]\exp(x) = \frac{\exp(x+y)}{\exp(y)}[/tex]? La f.eks. [tex]x = u - y[/tex] så har du [tex]\exp(u-y) = \frac{\exp(u)}{\exp(y)}[/tex].

[wingeer]

[tex]1=\exp(0)=\exp(1+(-1))=\exp(1) \cdot \exp(-1)[/tex]?

[svinepels]

Dere er ikke dumme. Kanskje aller greiest å gjøre det uten produktformelen, som du foreslo wingeer

[Vektormannen]

Oi, skjedde vist ting her mens jeg redigerte Se ovenfor.

[drgz]

Nå ble jeg nysgjerrig på om det faktisk går an å vise at [tex]\exp(-1)=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}}[/tex] uten å gå veien om det trikset som wingeer postet.

Dvs går det an å vise at 1-1+1/2-1/6+1/24-1/120+...-...+ er det samme som
1/(1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+.....+)

[svinepels]

mm, interessant problemstilling.

Finnes det noen lignende triks for å vise at [tex](e^a)^b=e^{ab}[/tex] holder for alle reelle tall a og b? Er ikke i mitt kreative hjørne i dag. Ser at det lett kan vises ved induksjon for naturlige b, men ikke for reelle.

EDIT: skrivefeil.

[wingeer]

Dersom du godkjenner logaritmer:
[tex](e^a)^b=x \Leftrightarrow ln((e^a)^b) = b \cdot ln(e^a) = ba = ln(x)[/tex]
Det kan virke litt skummelt å ta logaritmen av et ukjent tall x, men x>0 siden [tex]x=(e^a)^b[/tex].
Så vi har da:
[tex]ln(x) =ba \Leftrightarrow x=(e^a)^b=e^{ba}[/tex].
Det finnes kanskje måter utenom logaritmer også, men dette var det første jeg kom på.

[svinepels]

Det jeg egentlig driver med, er å leke med ideen at dersom man definerer eksponentialfunksjonen som MacLaurin-rekka si, kan man da dedusere alle de velkjente eksponentreglene fra denne definisjonen.

På denne måten kan man gi én universell definisjon av eksponentiering, og slippe å måtte definere eksponenter case-by-case for naturlige tall, negative heltall, 0, rasjonale tall, også videre.

Hvis man kan vise at exp er en strengt voksende funksjon, må den ha en invers som vi kan kalle ln. Men for å bruke ln til å bevise eksponentregler, må vi først bevise logaritmereglene uten å bruke de eksponentreglene vi skal vise, for å unngå sirkellogikk. Logritmereglen du brukte wingeer, tror jeg nettopp bygger på eksponentregelen som jeg prøver å vise. (rett på meg om jeg tar feil)