Hvilket tall er størst

[Nebuchadnezzar]

[tex]100![/tex] eller [tex]4^{(4^4)}[/tex]

[tex]sin(cos(1))[/tex] eller [tex] cos(sin(1)) [/tex]

[tex]\frac{1}{\ln(2)}[/tex] eller [tex]\frac{1}{\ln(3)}[/tex]

[drgz]

[tex]100! > 4^{4^4}[/tex], pga [tex]\log_{10}(100!) = \sum_{n=1}^{100}\log_{10}(n) \approx 157[/tex], mens [tex]4^{4^4} = 4^4\log_{10}(4) = 256\cdot0.6\approx 154[/tex]

Og [tex]10^{157} > 10^{154}[/tex].

[svinepels]

Tar den siste jeg da. Siden [tex]\ln x[/tex] er en strengt voksende funksjon, må [tex]\frac{1}{\ln x}[/tex] være strengt avtagende. Dermed er [tex]\frac{1}{\ln 2}>\frac{1}{\ln 3}[/tex], siden [tex]2<3[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Blr for dumt ac claude og bruke kalkulator :p Ellers ser det riktig ut
hva med en litt stygg en da?

[tex]\Large \sqrt[\pi]{\pi}[/tex] eller [tex]\large\sqrt[e]{e}[/tex]

[Janhaa]

prøver meg på skøyer'n her da...

gitt
[tex]f(x)=x\ln(x)[/tex]
deriverer og setter lik null:
[tex]f^,(x)=\ln(x)+1=0\,\,dvs[/tex]
[tex]x=1/e[/tex]

[tex]1/e \,>\, 1/\pi\,\,dvs[/tex]

[tex]f(1/e)\,<\,f(1/\pi)[/tex]

[tex](1/e)\cdot \ln(1/e)\,<\,(1/\pi)\cdot \ln(1/\pi)\\[/tex]

[tex]1/e\,>\,(1/\pi)\cdot \ln(1/\pi)[/tex]

[tex]\frac{\ln(e)}{e}\,>\,\frac{\ln(\pi)}{\pi}[/tex]

[tex]\ln(e^{1\over e})\,>\,\ln(\pi^{1\over\pi})[/tex]
dvs
[tex]e^{1\over e}\,>\,\pi^{1\over\pi}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Løsninga mi er nesten helt lik

Blir å se på funksjonen [tex]x^{\frac{1}{x}}[/tex]
også vise at [tex]e^{1/e}[/tex] er toppunktet

Luddig løsning ^^

[drgz]

Blr for dumt ac claude og bruke kalkulator :p

Ingen kalkulator gitt. Finnes formler for å regne ut summen på, og da er resten ganske rett fram.

[Nebuchadnezzar]

[tex]\sum_{n=1}^{100}\log_{10}(n) \approx 157[/tex]

Forklare meg hvordan ?

Er bere nysgjerrig =)

[espen180]

Jeg antar han brukte en integraltilnærming.

La f(x)=[tex]\log_{10}(x)[/tex]

Da kan [tex]S=\sum_{n=1}^{N} \log_{10}(n)[/tex] tilnærmes med

[tex]S\approx \frac{\int_{0}^{N} f(x+1)\rm{d}x + \int_{1}^{N} f(x)\rm{d}x}{2}[/tex]

Med en maksimal feil på

[tex]E= \frac{\int_{0}^{N} f(x+1)\rm{d}x - \int_{1}^{N} f(x)\rm{d}x}{2}[/tex]

Eller noe slikt. Er pensum i analyse 2.

[Nebuchadnezzar]

Selv fikk jeg 147 med en grov tilnærming

1*10+1.1*10+1.2*10+1.3*10+1.4*10+1.5*10+1.6*10+1.7*10+1.8*10+1.9*10+2=147

[drgz]

Nebu: du har en approksimasjon; [tex]\log(n!)\approx n\log(n)-n+\frac{\log(n(1+4n(1+2n)))}{6}+\frac{\log(\pi)}{2}[/tex]

For [tex]\log_{10}(n!)[/tex] må du da dele alle leddene på [tex]\log(10)[/tex]

For n=100 ble de da:

[tex]100*\log_{10}(100)-100/\log(10)+(1/6)\log_{10}(8040100)+(1/2)\log_{10}(\pi)[/tex]

Da får du sånn ca

[tex]100*2-(100/2.25)+(1/6)*6*3*0.3+a>0\approx 156.xx[/tex] som jeg valgte å runde opp pga jeg forenklet 8.0401 til 8 = 2^3. Kunne sikkert rundet ned også da jeg også forenklet 100/log(10) i motsatt retning, dvs valgte enn lavere verdi på log(10) enn det egentlig er, men tallet ville fortsatt blitt 156 som fortsatt er større enn 154. Har også skrevet a>0 fordi jeg ikke vet hva [tex]0.5\log_{10}(\pi)[/tex] er annet enn at det er større enn null og et sted mellom 0.5 og 0.75 delt på ca 2.2 ([tex]\pi > \mathrm{e}[/tex] og [tex]\log(\mathrm{e})=1[/tex]).

Approksimasjonen for log(n!) kom jeg på av den grunn at jeg har benyttet meg av den i en eller annen Projekt-Euler oppgave for noen år siden.

Ellers kan man sikkert gjøre som Espen skriver også, uten at jeg har sjekket nøyaktigheten man får.

[drgz]

For den som gjenstår kan man bruke Maclaurin-rekkene for [tex]\sin(x)[/tex] og [tex]\cos(x)[/tex] med f.eks to eller tre ledd for å få grei nok approksimasjon.

[tex]\sin(x) = 1-1/6+1/120 \approx 1-1/6 = 0.83[/tex]
[tex]\cos(x) = 1-1/2+1/720 \approx 0.5[/tex]

Også vet vi at [tex]\sin(x)\approx x[/tex] mens [tex]\cos(x)\approx 1[/tex] for små [tex]x[/tex], dermed må [tex]cos(sin(1)) > sin(cos(1))[/tex].