Integralet av (sinx)^n

[Betelgeuse]

Hei!
Holder på med kvantemekanikk nå og trenger å vise et resultat her.
Noen påstår at

[tex]\int_0^\pi sin^n x dx = \frac{n-1}n \int_0^\pi sin^{n-2}dx[/tex]

men hvordan kommer man frem til dette?

[Aleks855]

At et bestemt integral blir til en konstant ganget med et ubestemt? Eller skal det andre integralet også ha samme grensene?

[Betelgeuse]

Beklager. Det andre integralet skulle også ha de samme grensene.

[Charlatan]

Prøv med delvis integrasjon.

[andsol]

begynner med den engang så trivielle observasjonen [tex]\sin^n x = \sin x \sin^{n-1}x[/tex]. Deretter bruker vi delvis integrasjon

[tex]\int_0^\pi \sin x \sin^{n-1}x\, dx = \left[ -\cos x \sin^{n-1} x \right]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x (n-1) \sin^{n-2}x \cos x \, dx[/tex]

innholdet i klammene blir 0, og uttrykket i det nye integralet kan skrives som ved identiteten [tex]\sin^ x + \cos^2 x =1[/tex]

[tex](n-1)\int_0^\pi (1-\sin^2 x)\sin^{n-2}x \dx = (n-1)\left( \int_0^\pi sin^{n-2}x\, dx - \int_0^\pi\sin^n x \, dx \right)[/tex]

og da har man en ligning på formen

[tex]I = (n-1)\left( \int_0^\pi sin^{n-2}x \, dx -I\right)[/tex]

Og resten tar du nok. =)

[Betelgeuse]

Takk skal du ha