Nebu's diff.likning

[krje1980]

Nebu:

Kan du poste diff.likningen du viste meg i Trondheim? Tenkte jeg skulle prøve å løse den i litt rolige omgivelser i sofakroken!

[Nebuchadnezzar]

La [tex]y(x)[/tex] være løsningen til differensiallikningen

[tex]y^{\tiny\prime}+xy=1[/tex] med initialbetingelse [tex]y(0)=0[/tex]

Finn

[tex]\lim_{x \to \infty} y(x)[/tex]

[krje1980]

Her er et delvis løsningsforslag:

[tex]y^\prime + xy = 1[/tex]

Setter:

[tex]p(x) = x[/tex]

[tex]\mu(x) = e^{\int x dx}[/tex]

[tex]= e^{\frac{x^{2}}{2}}[/tex]

Dette gir:

[tex](ye^{\frac{x^{2}}{2})^\prime[/tex] [tex]= e^{\frac{x^{2}}{2}[/tex]

Rekkeutviklingen av [tex]e^{\frac{x^{2}}{2}[/tex] er gitt ved:

[tex]1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{6}}{48} + ...[/tex]

Integrasjon av dette gir: [tex]x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{40} + \frac{x^{7}}{336} + ... + C[/tex]

Løsningen på diff.likningen blir dermed:

[tex]y = \frac{x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{40} + \frac{x^{7}}{336} + ... + C}{1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{6}}{48} + ...}[/tex]

Innsetting av initialverdi gir [tex]C = 0[/tex]. Altså får vi:

[tex]y = \frac{x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{40} + \frac{x^{7}}{336} + ... }{1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{6}}{48} + ...}[/tex]

Jeg er imidlertid fortsatt litt usikker på grenseverdien av dette. Ettersom vi i teller her kan sette [tex]x[/tex] utenfor en parantes, hvor så alle leddene inne i parantesen vil ha samme polynomgrad som nevner, skulle jeg tro at grenseverdien går mot uendelig. Men sa du ikke at den skal gå mot [tex]0[/tex]?. Da må jeg i så fall tenke litt nærmere. Kan og være jeg har gjort feil

[Nebuchadnezzar]

Står litt her hvorfor det ikke funker med rekkeutvikling

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=429954

[krje1980]

Interessant. Takk for linken!

Tror nok ikke denne likningen kan løses med de metodene jeg har lært hittil. Men til våren begynner jeg på Diff-likninger 2, så da lærer jeg meg nok en del nye triks .

[Nebuchadnezzar]

Gi oppgava til foreleseren din da^^