Er dette et beviset riktig?

[Chopin]

Hei!

Oppgaven lyder som følgende:

Bruk ideen fra forrige oppgave til å vise at dersom [tex]n \in N[/tex] ikke er et kvadrattall, så er [tex]sqrt(n)[/tex] irrasjonal.

Ideen fra forrige oppgave går på utrykke ting ved å sette f. eks. [tex]sqrt(n) = a/b[/tex] hvor a og b er primtallsfaktorisertetall! Eks.: [tex]2*3*7*5^2[/tex] etc.

Så jeg prøvde følgende da:
Kvadrattall er [tex]n^2[/tex]
[tex]sqrt(n^2)[/tex] er et rasjonelt tall!
[tex]sqrt(n^2) = a/b[/tex]
[tex]n^2 = a^2/b^2[/tex]
[tex]n^2 * b^2 = a^2[/tex]

Slutt!
Hvis dette er feil, hvordan burde jeg gå frem :/ ?
Takk! Jeg utrolig usikker på alt som har med bevis å gjøre... Takk for alle pekepinner.

EDIT:

Ja! Jeg har visst rota hardt!
Prøver dette da?
[tex]sqrt(n^2 - 1)[/tex] er ikke et kvadrattall
[tex]sqrt(n^2 - 1) = a/b[/tex] a og b er primtallsfaktorer
[tex]n^2 - 1 = a^2/b^2[/tex]
[tex]b^2(n^2 - 1) = a^2[/tex]
[tex]a^2 = (bn)^2 - b^2[/tex]
[tex]a^2 + b^2 = (bn)^2[/tex]
Den høyre siden kan jo aldri bli likt venstre... :p
Hjelp :p

[Vektormannen]

Jeg kan ikke helt se at konklusjonen din stemmer overens med det du skulle vise?

Du skal vise at hvis du tar et naturlig tall som ikke er et kvadrattall -- altså et tall som ikke har alle primfaktorene opphøyd i en partallig potens -- så vil kvadratroten av tallet bli et irrasjonalt tall.

Kan du si litt mer spesifikt hva den forrige oppgaven gikk ut på? Hva var oppgaveteksten?

[Nebuchadnezzar]

ideen fra forrige oppgave er vel antakeligvis å vise at roten av to er irrasjonalt

[Chopin]

OK! Jeg har oppdatert første posten nå!

[Vektormannen]

Jeg tror du er litt på villspor her. Hvordan vet du at det du sier til slutt er sant? Og hvorfor ser du egentlig på tallet [tex]n^2 - 1[/tex]?

Det du bør gjøre her er å ta utgangspunkt i primtallsfaktoriseringen av [tex]n[/tex] når [tex]n[/tex] ikke er et kvadrattall. Hvis [tex]n[/tex] ikke er et kvadrattall så må det ha minst én primfaktor som ikke har partallig eksponent. Er du med på dette? Hvis alle primfaktorene er opphøyd i en partallig eksponent så vil du jo kunne ta kvadratroten av tallet og stå igjen med et produkt av bare heltallige faktorer (potensen halveres bare i hver potens.)

Når vi tar kvadratroten av [tex]n[/tex] så vil roten av eventuelle primtallsfaktorer som er opphøyd i en partallig eksponent bli et nytt heltall. Hvis det er en primtallsfaktor [tex]s[/tex] opphøyd i en oddetallig eksponent større enn 1 så har vi at [tex]\sqrt{s^{2k+1}} = \sqrt{s \cdot s^{2k}} = s^k \sqrt s[/tex] -- et helt tall ganger kvadratorten av primfaktoren.

Poenget med dette er at vi da kan skrive [tex]\sqrt n[/tex] som [tex]\sqrt n = m\sqrt{p_1 \cdot p_2 \cdots p_n}[/tex] der [tex]m[/tex] er kvadratroten av alle partallige potenser av primtall, som er et helt tall, og [tex]p_i[/tex] er primtall. Et rasjonalt tall ganger et irrasjonalt tall blir et nytt irrasjonalt tall, så hvis [tex]\sqrt n[/tex] skal være irrasjonal så må altså [tex]\sqrt{p_1 \cdot p_2 \cdots p_n}[/tex] være irrasjnalt.

Det du egentlig må vise er altså at [tex]\sqrt{p_1 \cdot p_2 \cdots p_n}[/tex] er irrasjonalt. For å gjøre det så må du tenke litt i de samme banene som du har gjort ovenfor. Vi kan kalle primtallsproduktet for f.eks. q. Da kan du begynne med å anta at [tex]\sqrt q[/tex] er et rasjonalt tall, altså at [tex]\sqrt q = \frac{a}{b}[/tex], der a og b ikke har noen felles faktorer (altså at brøken er maksimalt forkortet.) Kan du vise at dette fører til en selvmotsigelse?