Integrasjonsoppgave

[prasa93]

Da var det dags for VG3, og integrasjonstrøbbel.

Integrer 1 / (2x+1). Jeg følger fram til ln |2x+1|, men forstår ikke hvorfor man så skal gange med en halv. Noen?

[Nebuchadnezzar]

Prøvd å derivere svaret ditt ?

Enten så kan du bruke subtitusjon, som du snart lærer.

Eller du kan bruke logisk sans og se at du må dele på 2 pga kjerneregelen

[Gommle]

Det kommer av kjerneregelen.

Hvis du har[tex] f(g(x))[/tex] hvor [tex]g^\prime(x) = a[/tex], blir [tex][f(g(x))]^\prime = f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x) = a\cdot f^\prime(g(x))[/tex]

Hvis vi nå integrerer på begge sider:

[tex]\int [f(g(x))]^\prime\,dx = a\int f^\prime(g(x))\, dx[/tex]

[tex]\frac1a\cdot f(g(x)) = \int f^\prime(g(x))\, dx[/tex]

Dette gjelder altså for alle funksjonen hvor kjernen er lineær (ax+b). I dette tilfellet er f(x) = ln(2x+1), f'(x) = 1/(2x+1), og g(x) = 2x+2 slik at a = 2.

[Integralen]

[tex]\int \frac{1}{2x+1}dx[/tex]

Substitusjon foregår slik:

[tex]u=2x+1[/tex]

[tex]\frac{du}{dx}=2[/tex]

[tex]du=2dx[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \int \frac{1}{2x+1}2dx=\int \frac{1}{2x+1}dx[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|2x+1|+C[/tex]

Nå var jeg litt sent ute med svar gommle

[Gommle]

Neida, mange veier til rom.