Deriverbar funksjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La [tex]f(x):[a,b]\rightarrow \mathbb{R}[/tex] være en kontinuerlig deriverbar funksjon slik at [tex]f(a)=f(b)=0[/tex]. Vis at for enhver reell [tex]\lambda[/tex] fins det en [tex]c\in [a,b][/tex] slik at [tex]f^\prime(c)=\lambda f(c)[/tex].
La [tex]g(x)=f(x)e^{-\lambda x}[/tex]. Da er [tex]g(x)[/tex] kontinuerlig på [a,b] (produkt av kontinuerlige funksjoner) og deriverbar på (a,b) med derivert [tex]g^,(x)=f^,(x)e^{-\lambda x}-\lambda f(x)e^{-\lambda x}[/tex]. g(a)=g(b)=0, så middelverditeoremet gir at det eksisterer en c i (a,b) slik at [tex]g^,(c)=f^,(c)e^{-\lambda c}-\lambda f(c)e^{-\lambda c}=0[/tex], så [tex]f^,(c)=\lambda f(c)[/tex]
