Inverse funksjoner

[Jerry]

Hvordan går jeg frem for å finne inversen til g(x) = f(x) -2, vet at f er 1-1 med invers f^-1.

[Solar Plexsus]

Siden f er 1-1 og (1) g(x)=f(x)-2, er g også 1-1 (Bevis: Anta at g(x)=g(y) => f(x)-2=f(y)-2 => f(x)=f(y) => x=y da f er 1-1).

Funksjonallikningen (1) gir

g(g[sup]-1[/sup](x)) = f(g[sup]-1[/sup](x)) - 2

x = f(g[sup]-1[/sup](x)) - 2

f(g[sup]-1[/sup](x)) = x + 2

f[sup]-1[/sup][f(g[sup]-1[/sup](x))] = f[sup]-1[/sup](x+2)

g[sup]-1[/sup](x) = f[sup]-1[/sup](x+2).

[Jerry]

Åi, tusen takk for en kjempefin gjennomgang med bevis! Veldig ryddig og oversiktlig også. Finfint!

[Jerry-igjen]

Har brukt den måten du brukte på et par oppgaver nå, gikk fint. Kom til følgende oppgave, finn inversen til g^-1 (1) av g(x) = x^3 + x - 9

Prøvde å la y = f^-1(x)
x = f(y) = y^3 + y - 9

..men så kom jeg ikke lengre.

[Solar Plexsus]

Ved å sette x=g[sup]-1[/sup](1) får du at g(x)=g(g[sup]-1[/sup](1))=1. M.a.o. er x løsningen av likningen x[sup]3[/sup]+x-9=1, dvs. at

x[sup]3[/sup] + x - 10 = 0.

Denne tredjegradslikningen har kun en reell løsning, nemlig x=2. Dermed kan vi konkludere med at g[sup]-1[/sup](-1)=2.

[Jerry]

Må si at jeg ikke helt skjønte hvorfor du gjorde hva du gjorde, men kanskje det ikke er noen annen måte å gjøre det på som er lettere å forstå.

[Solar Plexsus]

Først må jeg påpeke en feil i konklusjonen på siste linje der jeg har skrevet at g[sup]-1[/sup](-1)=2. Det skal selvsagt være g[sup]-1[/sup](1)=2.

Her følger en mer detaljert forklaring på min fremgangsmåte:

Vi observerer at i dette tilfellet er g[sup]-1[/sup](1) den ukjente størrelsen vi skal bestemme. Sett i lys av dette faktum finner jeg det naturlig å sette x=g[sup]-1[/sup](1). Herav følger at

(1) g(x)=g(g[sup]-1[/sup](1)).

Ettersom g og g[sup]-1[/sup] er inverse funksjoner, må g(g[sup]-1[/sup](y))=y for alle y i D[sub]g[sup]-1[/sup][/sub] = V[sub]g[/sub] = R. Spesielt får vi ved å sette y=1 i (1) at g(g[sup]-1[/sup](1))=1, så iht. (1) er

(2) g(x)=1.

I.o.m. at g(x)=x[sup]3[/sup]+x-9, er (2) ekvivalent med

x[sup]3[/sup] + x - 9 = 1

x[sup]3[/sup] + x - 10 = 0

(x - 2)(x[sup]2[/sup] + 2x + 5) = 0

Ergo blir x=2 fordi andregradslikningen x[sup]2[/sup]+2x+5=0 har ingen reelle løsninger. Dermed kan vi konkludere med at

g[sup]-1[/sup](1) = x = 2.

[Jerry]

Nok en gang, takk skal du ha.
Nå skjønner jeg det faktisk!