vektorer, R2

[RCL]

planet a er gitt ved 2x + 2y - z - 2 = 0
planet b er parallelt med a
Avstanden fra et punkt på b til planet a er 3

hvordan finner jeg likningen for b?

Takk for eventuelle svar

[Vektormannen]

Her kan du tenke på mange måter. Men la oss si at du har et punkt i planet a. Er du med på at hvis du står i dette punktet så kan du gå langs normalvektoren til a for å komme til et punkt i b? Hvor langt må du gå? Hvordan kan du så gå frem for å finne planligningen hvis du kjenner et punkt i b?

[Woodfall]

Min måte er sikkert noe kronglete, men hvis du setter x=0, y=0 og finner z, bruk tilsvarende måte for å finne tre punkter i plan a, kall disse punktene A, B og C.

Finn krossproduktet mellom vektorene i plan a. (eks:[tex]\vec{AB}\times\vec{AC}[/tex]). Ta ut eventuelle konstanter fra krossproduktet for å skrive det så enkelt som mulig, kall den enkleste vektoren for [tex]\vec{r}[/tex]. Gang en ukjent inn i vektoren [tex]\vec{r}[/tex], så setter du:

[tex]t^2 \cdot \vec{r}^2 = \left( { \pm 3} \right)^2 = 9[/tex]

løs likningen og finn verdier for [tex]{t}[/tex], du skal få 2 løsninger.

Gang [tex]t_1[/tex] og [tex]t_2[/tex] inn i [tex]\vec{r}[/tex], for å finne punktene tar du [tex]\vec{OA}+\vec{r_1}[/tex] og [tex]\vec{OA}+\vec{r_2}[/tex]

Når du har to punkt skal det gå fint å finne likningene for plan b

[Vektormannen]

Det funker fint dette. Men planligningen til planet a er jo allerede kjent, så det er unødvendig å finne tre punkter A, B og C. Normalvektoren er jo gitt ved koeffisientene i planligningen (tallene som er ganget med x, y og z.). Så det er altså nok med ett av punktene og denne normalvektoren.

[RCL]

hmm..er det mulig å utdype det litt mer eller forklare annerledes? skjønte ikke helt greia, har funnet punket i a (0,0,-2) men så stopper det Vet jo at lengden mellom de skal være 3, så må vel bruke noe med avstandsformelen, eller tar jeg helt feil?

[Vektormannen]

Ok. Så nå vet du et punkt i a. Du har også en vektor som står normalt på planet, nemlig (2,2,-1) (denne får du fra planligningen til a). Lengden av denne vektoren er [tex]\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3[/tex]. Tenk deg at du står i punktet du har funnet. Deretter går du langs denne normalvektoren. Er du med på at du da vil ha havnet i et punkt i b? Du har jo gått langs en vektor som er både normal til a og b, og som har lengde 3. Du kan også gå motsatt vei. Da vil du også få et punkt med avstand 3 fra a. Du får altså to punkter: [tex]\vec{OA} + \vec{n} = [0,0,-2] + [2,2,-1] = [2,2,-3][/tex] og [tex]\vec{OA} - \vec{n} = [0,0,-2] - [2,2,-1] = [-2,-2,-1][/tex]. Det vil altså bli to forskjellige plan b som oppfyller kravene. Det hjelper mye om du tegner deg en liten skisse og tegner inn dette.

Men nå har du altså to punkter og en normalvektor. Da kan du finne ligningen til de to planene slik du antageligvis har gjort før.

Hvis dette ikke var helt forståelig så kan du også prøve metoden Woodfall ville brukt.

[RCL]

da gikk det opp ett lys!

tusen takk for hjelpen!