Innser at dette kanskje blir i letteste laget for de fleste av gjengangerne på forumet, men jeg så denne funksjonen i en annen tråd.
[tex]f(x) = 3x^{4} + \sqrt{x - \frac{2}{x^{3}}[/tex]
Nøtta: Bruk definisjonen av den deriverte til å derivere funksjonen, i stedet for de moderne regnereglene.
Ble oppfordra av egen lærer til å gjøre dette minst en gang hver test, bare for å vise at man kan.
Nøtt or not a nøtt?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Deler denne opp, da man ikke trenger å gjøre ting unødvendig vanskelig
[tex] m = \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} [/tex]
[tex] f\left( x \right) = 3{x^4}{\rm{ }},{\rm{ }}g\left( x \right) = \sqrt {x - \frac{2}{{{x^3}}}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{3{{\left( {x + h} \right)}^4} - 3{x^4}}}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} 3\frac{{\left( {{x^4} + 4{x^3}h + 6{x^2}{h^2} + 4x{h^3} + {h^4}} \right) - {x^4}}}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} 3\frac{{h\left( {4{x^3} + 6{x^2}h + 4x{h^2} + {h^3}} \right)}}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} 3\left( {4{x^3} + 6{x^2}h + 4x{h^2} + {h^3}} \right) [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = 3\left( {4{x^3}} \right) [/tex]
[tex] \underline {\frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = 12{x^3}}[/tex]
-----------------------------------------------
[tex] m = \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} [/tex]
[tex] {\rm{ }}g\left( x \right) = \sqrt {x - \frac{2}{{{x^3}}}} = \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} - \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} }}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} - \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} }}{h}\left[ {\frac{{\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} }}{{\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} }}} \right] [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}} - \frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}}}{{\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)h}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{{x^3}\left[ {{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2} \right] - {{\left( {x + h} \right)}^3}\left[ {{x^4} - 2} \right]}}{{{x^3}{{\left( {x + h} \right)}^3}}}}}{{\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)h}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^3}\left[ {{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2} \right] - {{\left( {x + h} \right)}^3}\left[ {{x^4} - 2} \right]}}{{{x^3}{{\left( {x + h} \right)}^3}\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)h}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^6}h + 3{x^5}{h^2} + 3{x^4}{h^3} + {x^3}{h^4} + 6{x^2}h + 6x{h^2} + 2{h^3}}}{{{x^3}{{\left( {x + h} \right)}^3}\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)h}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^6} + 3{x^5}h + 3{x^4}{h^2} + {x^3}{h^3} + 6{x^2} + 6xh + 2{h^2}}}{{{x^3}{{\left( {x + h} \right)}^3}\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = \frac{{{x^6} + 3{x^5} \cdot 0 + 3{x^4} \cdot {0^2} + {x^3} \cdot {0^3} + 6{x^2} + 6x \cdot 0 + 2 \cdot {0^2}}}{{{x^3}{{\left( {x + 0} \right)}^3}\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + 0} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + 0} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = \frac{{{x^6} + 6{x^2}}}{{{x^3}{{\left( {x + 0} \right)}^3}\left( {\sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = \frac{1}{2}\frac{{{x^4} + 6}}{{{x^4}\sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} }} [/tex]
Noen har sikkert en penere måte enn meg. Ser selv at jeg ikke skulle ha faktorisert til å begynne med. Men hvem bryr seg, dette er kalkulatormat :p
Prøv selv å derivere [tex]x^x[/tex] du =) eller å derivere [tex]\ln(x)[/tex] ved bruk av definisjonen. Eller [tex]e^x[/tex] ved bruk av definisjonen, mye artigere og utfordrende =)
Andre del kommer kanskje i kveld.
[tex] m = \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} [/tex]
[tex] f\left( x \right) = 3{x^4}{\rm{ }},{\rm{ }}g\left( x \right) = \sqrt {x - \frac{2}{{{x^3}}}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{3{{\left( {x + h} \right)}^4} - 3{x^4}}}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} 3\frac{{\left( {{x^4} + 4{x^3}h + 6{x^2}{h^2} + 4x{h^3} + {h^4}} \right) - {x^4}}}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} 3\frac{{h\left( {4{x^3} + 6{x^2}h + 4x{h^2} + {h^3}} \right)}}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} 3\left( {4{x^3} + 6{x^2}h + 4x{h^2} + {h^3}} \right) [/tex]
[tex] \frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = 3\left( {4{x^3}} \right) [/tex]
[tex] \underline {\frac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = 12{x^3}}[/tex]
-----------------------------------------------
[tex] m = \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} [/tex]
[tex] {\rm{ }}g\left( x \right) = \sqrt {x - \frac{2}{{{x^3}}}} = \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} - \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} }}{h} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} - \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} }}{h}\left[ {\frac{{\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} }}{{\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} }}} \right] [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}} - \frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}}}{{\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)h}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{{x^3}\left[ {{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2} \right] - {{\left( {x + h} \right)}^3}\left[ {{x^4} - 2} \right]}}{{{x^3}{{\left( {x + h} \right)}^3}}}}}{{\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)h}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^3}\left[ {{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2} \right] - {{\left( {x + h} \right)}^3}\left[ {{x^4} - 2} \right]}}{{{x^3}{{\left( {x + h} \right)}^3}\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)h}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^6}h + 3{x^5}{h^2} + 3{x^4}{h^3} + {x^3}{h^4} + 6{x^2}h + 6x{h^2} + 2{h^3}}}{{{x^3}{{\left( {x + h} \right)}^3}\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)h}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^6} + 3{x^5}h + 3{x^4}{h^2} + {x^3}{h^3} + 6{x^2} + 6xh + 2{h^2}}}{{{x^3}{{\left( {x + h} \right)}^3}\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + h} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + h} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = \frac{{{x^6} + 3{x^5} \cdot 0 + 3{x^4} \cdot {0^2} + {x^3} \cdot {0^3} + 6{x^2} + 6x \cdot 0 + 2 \cdot {0^2}}}{{{x^3}{{\left( {x + 0} \right)}^3}\left( {\sqrt {\frac{{{{\left( {x + 0} \right)}^4} - 2}}{{{{\left( {x + 0} \right)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = \frac{{{x^6} + 6{x^2}}}{{{x^3}{{\left( {x + 0} \right)}^3}\left( {\sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} } \right)}} [/tex]
[tex] \frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}} = \frac{1}{2}\frac{{{x^4} + 6}}{{{x^4}\sqrt {\frac{{{x^4} - 2}}{{{x^3}}}} }} [/tex]
Noen har sikkert en penere måte enn meg. Ser selv at jeg ikke skulle ha faktorisert til å begynne med. Men hvem bryr seg, dette er kalkulatormat :p
Prøv selv å derivere [tex]x^x[/tex] du =) eller å derivere [tex]\ln(x)[/tex] ved bruk av definisjonen. Eller [tex]e^x[/tex] ved bruk av definisjonen, mye artigere og utfordrende =)
Andre del kommer kanskje i kveld.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Bøyer meg i støvet jeg. Ikke mange som gidder, eller i det hele tatt holder tunga rett nok i munnen.
Men ja, jeg tar gjerne en av de du sa. Trenger litt øvelse både i matematikken og LaTex. Si gjerne fra hvis noe blir feil. Har litt lyst til å få dette til å sitte.
[tex]f(x) = lnx[/tex]
[tex]f \prime (x) = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{ln(x + h) - lnx}{h}[/tex]
[tex]{\lim }\limits_{h \to 0} \frac{ln(\frac{x+h}{x})}{h}[/tex]
[tex]{\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}ln(1+\frac{h}{x})[/tex]
[tex]{\lim }\limits_{h \to 0} ln((1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}})[/tex]
Der får jeg ikke til Tex'en. Men det jeg skal frem til er at [tex]1+\frac{h}{x}[/tex] skal opphøyes i [tex]\frac{1}{h}[/tex], og at jeg skal ha den naturlige logaritmen av det hele.
EDIT: Jo, er visst bedre å bruke squiggly-brackets i stedet for parantes for å sette brøker som eksponent.
Fortsetter med substitusjon for å ikke bli sittende hele natta å kukelure i Tex: [tex]u = \frac{h}{x}[/tex]
[tex]{\lim }\limits_{h \to 0} ln(1+u)^{\frac{1}{xu}}[/tex]
Siden [tex]xu = h[/tex] fra substitusjon.
[tex]{\lim }\limits_{u \to 0} ln((1+u)^{\frac{1}{u}})^{\frac{1}{x}}[/tex]
[tex]{\lim }\limits_{u \to 0} \frac{1}{x}(ln(1+u)^{\frac{1}{u}})[/tex]
[tex]\frac{1}{x}ln({\lim }\limits_{u \to 0} (1+u)^{\frac{1}{u}})[/tex]
Og siden:
[tex]{\lim }\limits_{u \to 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = {\lim }\limits_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{n} = e[/tex]
Så får vi:
[tex]\frac{1}{x}lne[/tex]
Og siden:
[tex]lne = 1[/tex]
Så får vi:
[tex]\underline{\underline{f \prime (x) = \frac{1}{x}}}[/tex]
Lærte faktisk MYE LaTex nå. Måtte drodle en god del på papir ved siden av, men worth it!
Men ble det feil noen steder? Er ganske trøtt akkurat nå, så hvis det er det, så ser jeg dem ikke selv.
Noen som fortsetter med tilsvarende for [tex]x^x[/tex] eller [tex]e^x[/tex]?
Ha en ellers fortreffelig d... natt!
Men ja, jeg tar gjerne en av de du sa. Trenger litt øvelse både i matematikken og LaTex. Si gjerne fra hvis noe blir feil. Har litt lyst til å få dette til å sitte.
[tex]f(x) = lnx[/tex]
[tex]f \prime (x) = {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{ln(x + h) - lnx}{h}[/tex]
[tex]{\lim }\limits_{h \to 0} \frac{ln(\frac{x+h}{x})}{h}[/tex]
[tex]{\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}ln(1+\frac{h}{x})[/tex]
[tex]{\lim }\limits_{h \to 0} ln((1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}})[/tex]
Der får jeg ikke til Tex'en. Men det jeg skal frem til er at [tex]1+\frac{h}{x}[/tex] skal opphøyes i [tex]\frac{1}{h}[/tex], og at jeg skal ha den naturlige logaritmen av det hele.
EDIT: Jo, er visst bedre å bruke squiggly-brackets i stedet for parantes for å sette brøker som eksponent.
Fortsetter med substitusjon for å ikke bli sittende hele natta å kukelure i Tex: [tex]u = \frac{h}{x}[/tex]
[tex]{\lim }\limits_{h \to 0} ln(1+u)^{\frac{1}{xu}}[/tex]
Siden [tex]xu = h[/tex] fra substitusjon.
[tex]{\lim }\limits_{u \to 0} ln((1+u)^{\frac{1}{u}})^{\frac{1}{x}}[/tex]
[tex]{\lim }\limits_{u \to 0} \frac{1}{x}(ln(1+u)^{\frac{1}{u}})[/tex]
[tex]\frac{1}{x}ln({\lim }\limits_{u \to 0} (1+u)^{\frac{1}{u}})[/tex]
Og siden:
[tex]{\lim }\limits_{u \to 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = {\lim }\limits_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{n} = e[/tex]
Så får vi:
[tex]\frac{1}{x}lne[/tex]
Og siden:
[tex]lne = 1[/tex]
Så får vi:
[tex]\underline{\underline{f \prime (x) = \frac{1}{x}}}[/tex]
Lærte faktisk MYE LaTex nå. Måtte drodle en god del på papir ved siden av, men worth it!
Men ble det feil noen steder? Er ganske trøtt akkurat nå, så hvis det er det, så ser jeg dem ikke selv.
Noen som fortsetter med tilsvarende for [tex]x^x[/tex] eller [tex]e^x[/tex]?
Ha en ellers fortreffelig d... natt!