Geometrisk sted

[Karl_Erik]

Gitt to punkter A og B og et tredje punkt P på linja AB (utenfor linjestykket AB), beskriv mengden av punkter X slik at linje PX tangerer omsirkelen til trekant PAB.

[Charlatan]

Mulig jeg misforstår her, men mener du trekant XAB? A,B og P er jo kolineære så PAB er ingen trekant (eller en degenerert trekant uten omsirkel).

[Charlatan]

Jeg antar trekant XAB her. Setter A,B og P i et koordinatsystem slik at A = (-1,0), B = (1,0) og P = (p,0). Vi vil finne lokusen til X = (x,y) slik at linja PX tangerer omsirkelen til XAB. Hvis X er et slikt punkt er PXO (der O er origo) en rettvinklet trekant med hypotenus OP. Det betyr at PX^2+OX^2 = OP^2, dvs i koordinater at p^2 = 1+ (p-x)^2+y^2, eller (x-p)^2+y^2=p^2-1. Alle løsninger (x,y) som tilfredsstiller denne likningen beskriver en sirkel med sentrum i P og radius p^2-1.

Ved å gå tilbake ser vi at et punkt (x,y) som tilfredsstiller denne ligningen og er slik at XAB er en trekant vil være slik at PX er en tangent til omsirkelen til XAB. Da står vi altså igjen med lokusen til X: sirkelen med sentrum i P og radius p^2-1 slik at X ikke ligger på AB, m.a.o at a er ulik 0.

[Karl_Erik]

Det var da flaut at jeg aldri klarer å legge ut oppgaver uten feil - det er som du sier helt riktig at jeg mente trekant XAB, og løsningen din er selvfølgelig også helt riktig, med det marginale pirket at du sikkert mente at radien blir [tex]\sqrt{p^2-1}[/tex]. Dette kjenner du sikkert også igjen som roten av [tex]P[/tex] sin potens med hensyn på en sirkel gjennom A og B, og det er ikke så vanskelig å omforme dette til en mer geometrisk løsning om en vil.

[Charlatan]

Ja, selvfølgelig skal det være [tex]\sqrt{p^2-1}[/tex], tenkte meg ikke helt om. Punktets potens var en god idè, likte den løsningen.