Finn feilen 1=0

[Nebuchadnezzar]

Fant på denne selv... Håper den fungerer og ikke er altfor lett å se.

Vi vet at [tex]\sin {\left( x \right)^2} + \cos {\left( x \right)^2} = 1[/tex]

Dermed vet vi også at [tex]\frac{d}{{dx}}\int \,1\; dx = \frac{d}{{dx}}\int {\sin {{\left( x \right)}^2} + \cos {{\left( x \right)}^2}} dx[/tex] stemmer.

Regner vi først ut integralene først og tar derivasjonen senere ser vi at.

[tex]\int 1 {\;} {} dx = x + C[/tex]

Vi deler opp høyre side til to integraler
[tex] I = \int {\sin {{\left( x \right)}^2} + \cos {{\left( x \right)}^2}dx} [/tex]

[tex] I = \int {\sin {{\left( x \right)}^2}dx + } \int {\cos {{\left( x \right)}^2}dx} [/tex]

Vi bruker delvis integrasjon på hvert av leddene. Først første integralet.

[tex] I = \int {\sin {{\left( x \right)}^2}dx} = \int {\sin \left( x \right)\sin \left( x \right)dx} [/tex]

[tex] u = \sin \left( x \right),\frac{{du}}{{dx}} = \cos \left( x \right){\rm{ og }}v^{\tiny\prime} = \sin \left( x \right),v = - \cos \left( x \right) [/tex]

[tex] I = \sin \left( x \right)\left( { - \cos \left( x \right)} \right) - \int {\cos \left( x \right)\left( { - \cos \left( x \right)} \right)} dx [/tex]

[tex] I = - \sin \left( x \right)\cos \left( x \right) + \int {\cos \left( x \right)\cos \left( x \right)} dx [/tex]

[tex] u = \cos \left( x \right),\frac{{du}}{{dx}} = - \sin \left( x \right){\rm{ og }}v^{\tiny\prime} = \cos \left( x \right),v = \sin \left( x \right) [/tex]

[tex] I = - \sin \left( x \right)\cos \left( x \right) + \left[ {\cos \left( x \right)\sin \left( x \right) - \int { - \sin \left( x \right)\sin \left( x \right)} dx} \right][/tex]

[tex] I = 0 + I [/tex]

[tex] I = 0 [/tex]

Orker ikke gjøre det samme for [tex] \int{\,cos(x)^2\,dx} [/tex]
Men vi finner ut at også dette integralet blir 0. Summerer da

[tex] \frac{d}{{dx}}\int {1 \; dx} = \frac{d}{{dx}}\int {\sin {{\left( x \right)}^2} + \cos {{\left( x \right)}^2}dx} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}\int {1{\;} dx} = \frac{d}{{dx}}\int {0 + 0\;dx} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}\;\left[ x + C \right] = \frac{d}{{dx}}\left[ C \right] [/tex]

[tex] 1 = 0 [/tex]

[espen180]

[tex]\frac{d}{{dx}}\int 1 {\;} {} dx = x + C[/tex]

For det første er dette feil, men du retter opp denne senere i posten.

[tex] I = 0 + I [/tex]

[tex] I = 0 [/tex]

Dette er galt. Resultatet ditt blir 0=0, ikke I=0.

[Nebuchadnezzar]

Nå er det store spørsmålet hvorfor rett frem delvis integrasjon ikke fungerer på
[tex]\int{\cos(x)^2}dx[/tex] og [tex]\int{\sin(x)^2}dx[/tex] da ^^

Er første gang jeg ser at man ender opp med et udefinert uttrykk. Selvfølgelig kan jeg integrere disse stykkene, syntes bare det var artig.

[espen180]

Det er ikke noe spesiellt med de integralene. La u og v være arbitrære deriverbare funksjoner. Se på integralet

[tex]I=\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x[/tex]

Vi bruker delvis integrasjon med f(x)=u og g(x)=v:

[tex]I=\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x=uv-\int \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}v\rm{d}x[/tex]

Hvis vi bruker delvis igjen med de samme funksjonene men omvendt, vil dette bli

[tex]\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x=uv-\int \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}v\rm{d}x=uv-uv+\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x=\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x[/tex]

så alt du får ut av dette er at

[tex]\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x=\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x[/tex]

eller ekvivalent,

[tex]0=0[/tex].

Så det som fører til 0=0-uttrykket er å bruke en delvis integrasjon, og deretter gå tilbake.