Areal under graf (Putnam inspirert)

[Nebuchadnezzar]

Vi har en andregradsfunksjon som er slik som på bildet (Rød).
Vi varierer den blå linja slik at den har en høyde c over x-aksen.
Uttrykk c ved h slik at de grønne arealene er like store

[Solar Plexsus]

Siden grafen til den aktuelle andregradsfunksjonen passerer gjennom origo, må den være av formen

[tex]f(x) \,=\, ax(2b \,-\, x).[/tex]

La [tex]d[/tex] være [tex]x[/tex]-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafen til [tex]f[/tex] og linja [tex]y=c[/tex]. Videre har [tex]f[/tex] et maksimalpunkt i ([tex]b[/tex],[tex]h[/tex]). Dermed har vi at

[tex]c \,=\, f(d) \,=\, ad(2b \,-\, d)[/tex]

og

[tex]h \,=\, f(b) \,=\, ab^2.[/tex]

Arealet [tex]A_1[/tex] av området begrenset av [tex]y[/tex]-aksen, linja [tex]y=c[/tex] og grafen til [tex]f[/tex] er gitt ved formelen

[tex]A_1 \,=\, cd \: - \int_0^d f(x) \, dx[/tex]

mens arealet [tex]A_2[/tex] av området begrenset av linja [tex]y=c[/tex] og grafen til [tex]f[/tex] er det dobbelte av arealet av område begrenset av grafen til [tex]f[/tex] og linjene [tex]y=c[/tex] og [tex]x=b[/tex], dvs. at

[tex]A_2 \,=\, 2\Big( \int_d^b f(x) \, dx \: - \: c(b-d)\Big).[/tex]

Nå er [tex]A_1 = A_2[/tex], så

[tex]cd \:-\: \int_0^d f(x) \, dx \; = \; 2\int_d^b f(x) \, dx \: - \: 2c(b-d)[/tex]

Ved å legge til [tex]2\int_0^d f(x) \, dx[/tex] på begge sider av likningen får vi

[tex]cd \:+ \: \int_0^d f(x) \, dx \; = \; 2 \int_0^d f(x) \, dx \: + \: 2\int_d^b f(x) \, dx \: - \: 2c(b-d)[/tex],

som igjen medfører at

[tex](1)\;\; \int_0^d f(x) \, dx \; = \; 2 \int_0^b f(x) \: - \: c(2b-d)[/tex].

Nå er

[tex]\int_0^k f(x) \, dx \; = \; a \int_0^k 2bx \,-\, x^2 \, dx \; = \; a \Big[ bx^2 \,-\, \frac{x^3}{3} \Big]_0^k \; = \; \frac{ak^2}{3}(3b \,-\, k).[/tex]

Dette i kombinasjon med det faktum at [tex]c = ad(2b - d)[/tex] og integrallikningen (1) gir

[tex]\frac{ad^2}{3}(3b \,-\, d) \; = \; \frac{4ab^3}{3} \:-\: ad(2b \,-\, d)^2[/tex].

Ved å gange likningen med [tex]3/a[/tex] blir resultatet

[tex]d^2(3b \,-\, d) \; = \; 4b^3 \: - \: 3d(2b \,-\, d)^2[/tex]

[tex]3bd^2 \,-\, d^3 \; = \; 4b^3 \: - \: 3d(d^2 \,-\, 4bd \,+\, 4b^2)[/tex]

[tex]3bd^2 \,-\, d^3 \; = \; 4b^3 \,-\, 3d^3 \,+\, 12bd^2 \,-\, 12b^2d[/tex]

[tex]2d^3 \,-\, 9bd^2 \,+\, 12b^2d \,-\, 4b^3 \; = \; 0[/tex].

Ved å dele denne likningen på [tex]b^3[/tex] og sette [tex]x = d/b[/tex] får vi tredjegradslikningen

[tex]2x^3 \,-\, 9x^2 \,+\, 12x \,-\, 4 \; = \; 0[/tex],

som er ekvivalent med

[tex](2x \,-\, 1)(x \,-\, 2)^2 \:=\: 0[/tex],

som gir [tex]x = 1/2[/tex] siden [tex]x = d/b \,<\, 1[/tex] fordi [tex]0 \,<\, d \,<\, b[/tex]. Dermed blir

[tex]\frac{c}{h} \: = \: \frac{ad(2b \,-\, d)}{ab^2} \: = \: 2\frac{d}{b} \,-\, (\frac{d}{b})^2 \: = \: 2x \,-\, x^2 \: = \: 2 \cdot \frac{1}{2} \: - \: (\frac{1}{2})^2 \: = \: 1 \,-\, \frac{1}{4} \: = \: \frac{3}{4}.[/tex]

Altså er

[tex]c \, = \, \frac{3h}{4}[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Løsningen er selvfølgelig helt riktig. Det jeg liker med denne oppgaven er at den ser veldig uskyldig ut, og man får lyst til å løse den. Prøver man derimot ser man at ting blir kompliserte. Tenker at dette kan aldri i livet ha et pent svar, før man tilslutt ender opp med et veldig pent svar =)

Har selvfølgelig flere og, om det skulle være interesse for det.