Lineær algebra; finn koeffisientmatrisen

[Ostbågar]

"Litt" informasjon til oppgaven:

Vi skal studere funksjonen [tex] f: K \rightarrow \mathbb{R} [/tex] der [tex]K = [0,n][/tex] x [tex][0,n] \subset \mathbb{R}^2[/tex] er et kvadrat i uv-planet, og der [tex]n \geq 1[/tex] er et naturlig tall.

[tex]K[/tex] deles inn i [tex]n^2[/tex] mindre kvadrater med hjørner [tex](i,j) \in \mathbb{R}^2[/tex] der [tex]0 \leq i, j \leq n[/tex] er hele tall. Det er [tex]N = (n+1)^2[/tex] slike hjørner.


Vi har allerede bevist at for hvert naturlig tall [tex]k[/tex], [tex]1 \leq k \leq N[/tex] finnes det bare ett par (i,j) slik at [tex]k = (i+1) + j(n+1)[/tex]

Til en funksjon [tex] f: K \rightarrow \mathbb{R} [/tex] tilordner vi en vektor x som inneholder funksjonsverdien til [tex]f[/tex] i de [tex]N[/tex] hjørnene: [tex] \vec{x} = (x_1 ,... , x_k, ... , x_N)[/tex], der [tex]x_k = f(i,j)[/tex]

Og; Vi har en funksjon: [tex]f(u,v) = au^2 + buv + cv^2 + du + ev +h[/tex] der a,b,c,d,e,h er reelle konstanter.

Og; Vi har allerede vist at: [tex]f(i,j-1) + f(i-1,j) -4f(i,j) + f(i+1,j) + f(i,j+1) = 2a + 2c[/tex] for alle par (i,j) av hele tall med 0 < i, j <n


Så til selve oppgaven (!):
Vi betrakter tilfellet n = 3.

Ligningssystemet som består av de [tex](n-1)^2 = 4[/tex] ligningene: [tex]f(i,j-1) + f(i-1,j) - 4f(i,j) + f(i+1,j) + f(i,j+1) = 0[/tex],

for [tex](i,j) = (1,1), (2,1), (1,2), (2,2)[/tex], i de [tex]N = (n+1)^2 = 16[/tex] ukjente: [tex]\vec{x} = (x_1,...x_{16}) = (f(0,0), f(1,0), f(2,0), f(3,0), f(0,1)... f(3,3)[/tex],

kan skrives på matriseform som Bx = 0

Finn 4x 16 koeffisieTnmatrisen B

Hvordan skal jeg gjøre dette? Å regne ut vektoren x er ikke no større problem, men jeg forstår ikke hvordan jeg skal ta med disse fire ligningssystemene det er snakk om, som alltid skal bli lik 0

Dette er oppgave 5) fra obligen i MAT-1110

[Gustav]

Sett i=j=1. Dette svarer da til den første ligningen:

f(1,0)+f(0,1)-4f(1,1)+f(2,1)+f(1,2)=0

Du kan nå skrive ned den første raden i B slik at ligningen over matcher med produktet av B og x. Gjør noe analogt for de andre tre (i,j)-parene for å bestemme de siste tre radene i B.

[Ostbågar]

Sett i=j=1. Dette svarer da til den første ligningen:

f(1,0)+f(0,1)-4f(1,1)+f(2,1)+f(1,2)=0

Du kan nå skrive ned den første raden i B slik at ligningen over matcher med produktet av B og x. Gjør noe analogt for de andre tre (i,j)-parene for å bestemme de siste tre radene i B.

Så; Vi vet allerede at vi for alle (i,j) har [tex]f(i,j-1) + f(i-1,j) - 4f(i,j) + f(i+1,j) + f(i,j+1) = 2a + 2c[/tex], og denne skal vi sette lik 0.

Så skal den første raden i B, som består av de 16 elementene (b[sub]1[/sub], b[sub]2[/sub], ..., b[sub]16[/sub]) multipliseres med vektoren x.


Skal da dette produktet (b[sub]1[/sub]x[sub]1[/sub] + b[sub]2[/sub]x[sub]2[/sub] +...+ b[sub]16[/sub]x[sub]16[/sub]) bli lik 2a + 2c?

Dette blir jo altfor mange ukjente på én ligning?(!)
Noen tips på hva jeg kan gjøre, sitter bom fast

[Gustav]

B er en 4 x 16 matrise. Så Bx=0 svarer til 4 ligninger, og de fire ligningene er oppgitt i oppgaven og svarer til de fire parene (i,j)=(1,1), (1,2),(2,1),(2,2).

Oppgaven er er sette opp matrisen B som består av koeffisientene foran f(i,j), f(i,j+1) (etc.)-leddene i ligningene.

F.eks. er den første ligningen (som svarer til (i,j)=(1,1))

f(1,0)+f(0,1)-4f(1,1)+f(2,1)+f(1,2)=0

Dette kan skrives

[tex]0f(0,0)+1f(1,0)+0f(2,0)+0f(3,0) +1f(0,1)-4f(1,1)+1f(2,1)+0f(3,1)+0f(0,2)+1f(1,2)+0f(2,2)+0f(3,2)+0f(0,3)+0f(1,3)+0f(2,3)+0f(3,3)=0[/tex]

Herfra kan du direkte lese av den første raden i B som koeffisientene foran alle f-leddene

[Ostbågar]

Herfra kan du direkte lese av den første raden i B som koeffisientene foran alle f-leddene

Så første rad av B er:

[tex]B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex]

[Ostbågar]

Noen som vet hvordan man kan få Matlab eller Python til å finne matrisen B?

Noen tips? Synes det er kjempevanskelig