Integral maraton !

[Janhaa]

Slenger opp et par her da, selv om den siste ikke er blitt løst helt enda...
[tex]I_{12} \int {\frac{{\sin x}}{{\sin x - 1}}dx} [/tex]
om dere driver å tar kompleks analyse eller er kjemilærer på vgs

siden jeg ikke er kjemilærer på vgs nå...tar jeg en grei en

[tex]I_{12}= \int {\frac{{\sin x}}{{\sin x - 1}}dx}= \int {\frac{{\sin x+1-1}}{{\sin x - 1}}dx}=\int\,dx\,+\,\int\frac{dx}{\sin x-1}=x\,+\,I_b[/tex]

[tex]I_{b}=\int{\frac{{dx}}{{2sin(x/2)\cos(x/2) - 1}}}=\int\frac{\sec^2(x/2)\,dx}{2\tan(x/2)\,-\,\sec^2(x/2)}[/tex]

[tex]u=\tan(x/2)\,\,\Right\,\,du=0,5\sec^2(x/2)\,dx[/tex]

[tex]I_{b}=\int{\frac{du}{{2u- 1-u^2}}=\frac{2}{u-1}[/tex]

[tex]I_{12}={\frac{2}{{\tan(x/2) - 1}}\,+\,x\,\,+\,C[/tex]

[drgz]

siden jeg ikke er kjemilærer på vgs nå...tar jeg en grei en

Hva er det du forsker på? Kjemigreier?

[Nebuchadnezzar]

Og her er bokmetoden ^^ Trodde virkelig du fortsatt var kjemilærer på vgs jeg... Jaja, man lærer noe hver dag. Fin løsning Weisserstrass substitusjon fungerer alltid.

[tex] {I_{12}} = \int {\frac{{\sin x}}{{\sin x - 1}}dx} = \int {\frac{{\sin x\left( {\sin x - 1} \right)}}{{\left( {\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - 1} \right)}}dx} = \int {\frac{{\sin {{\left( x \right)}^2} + \sin \left( x \right)}}{{\cos {{\left( x \right)}^2}}}} dx = \int {\tan {{\left( x \right)}^2} + \tan \left( x \right)\sec \left( x \right)} dx [/tex]

[tex] {I_{12}} = \tan x + \sec x - x + C [/tex]

[Janhaa]

siden jeg ikke er kjemilærer på vgs nå...tar jeg en grei en

Hva er det du forsker på? Kjemigreier?

det er en salig blanding av fysikk, kjemi og anvendt matematikk...

[Janhaa]

Og her er bokmetoden ^^ Trodde virkelig du fortsatt var kjemilærer på vgs jeg... Jaja, man lærer noe hver dag. Fin løsning Weisserstrass substitusjon fungerer alltid.
[tex] {I_{12}} = \int {\frac{{\sin x}}{{\sin x - 1}}dx} = \int {\frac{{\sin x\left( {\sin x - 1} \right)}}{{\left( {\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - 1} \right)}}dx} = \int {\frac{{\sin {{\left( x \right)}^2} + \sin \left( x \right)}}{{\cos {{\left( x \right)}^2}}}} dx = \int {\tan {{\left( x \right)}^2} + \tan \left( x \right)\sec \left( x \right)} dx [/tex]
[tex] {I_{12}} = \tan x + \sec x - x + C [/tex]

den var enklere ja. Men Weierstrass t-Substitution (trigonometrisk substitusjon) er en slager...

[Janhaa]

I_3
her

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 54547a2709

veit ikke om den stemmer...

[Nebuchadnezzar]

Du kan jo prøve å sette inn grensene i den røveren. Svaret kan uansett uttrykkes som [tex]\frac{\pi}{\sqrt{3}}[/tex]

[Janhaa]

Du kan jo prøve å sette inn grensene i den røveren. Svaret kan uansett uttrykkes som [tex]\frac{\pi}{\sqrt{3}}[/tex]

er nok ikke riktig, trur jeg får [symbol:pi]/4

[Nebuchadnezzar]

Kan kanskje prøve meg på denne senere. Just nu hr jeg oppkjøring, dame, heldagsprøve i matte og 2.5k ord innlevering til fredag...

[Gustav]

Kan kanskje prøve meg på denne senere. Just nu hr jeg oppkjøring, dame, heldagsprøve i matte og 2.5k ord innlevering til fredag...

Du skal alltid prioritere matematikken først!

[Janhaa]

uansett nå skal jeg ta Mild tortur:

[tex]I_6 = \int\limits_1^2 {\sqrt {\frac{{x + 2}}{x}} } dx[/tex]
bruker
[tex]sqrt x=\sqrt 2 \sinh(u)\,\,\Rightarrow\,\,u=\text arcsinh(\sqrt{(x/2)}[/tex]

[tex]x=2\sinh^2(u)\,\,\Rightarrow\,\,dx=4\sinh(u)\cosh(u)\,du[/tex]

uten grenser:
[tex]I_6 = 4\int{\sqrt {\frac{{\sinh^2(u)+1}}{\sinh^2(u)}} }\sinh(u)\cosh(u)\,du=4\int \cosh^2(u)\,du[/tex]

[tex]I_6 = 2\left(u\,+\,\sinh(u)\cosh(u)\right)\,+\,C[/tex]

[tex]I_6 = 2\left(\text arcsinh({\sqrt{x\over 2}})\right)\,+\,\sqrt{x(x+2)}\,+\,C[/tex]

med grenser:
[tex]I_6 = sqrt 8\,-\,\sqrt 3\,+\, 2\text arcsinh(1)\,-\,2\text arcsinh({1\over \sqrt{2}})[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Selv fikk jeg

[tex]{I_6} = \ln \left( {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 3 }}} \right) - \sqrt 3 + 2\sqrt 2[/tex]

Med en slightly annen substitusjon, og en del mer algebra. Men svarene våre er dønn like, og når jeg tenker etter foretrekker jeg kanskje din metode =)

Flott at du prøver deg på disse... Prøver å skrive opp en del som er litt uvante. Kjempeflottis.

[Janhaa]

Slenger opp et par her da, selv om den siste ikke er blitt løst helt enda...
Løs følgende integral uten bruk av delvis integrasjon:
[tex]I_{15} = \int {{2^x}{e^x}}dx [/tex]
Tips kan gis om ønskelig, og prøv å ligg unna de aller letteste integralene om dere driver å tar kompleks analyse eller er kjemilærer på vgs

fortsatt ikke vgs-kjemilærer, så da tar jeg en light :
[tex]x=\ln(u)\,\,\Rightarrow\,\,dx=\frac{du}{u}[/tex]
[tex]u=e^x[/tex]

[tex]I_{15} = \int 2^{\ln(u)} \,du=\int u^{\ln(2)} \,du=\frac{(e^x)^{\ln(2)+1}}{\ln(2)+1}+C=\frac{2^xe^x}{\ln(2)+1}+C[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Metode 2. Uten substitusjon eller delvis

[tex]I_{15} \, = \, \int {{2^x}{e^x}dx} \, = \, \int {{{\left( {2e} \right)}^x}dx} \, = \, \frac{1}{{\ln \left( {2e} \right)}}{\left( {2e} \right)^x} \, = \, \underline{\underline {\frac{{{2^x}{e^x}}}{{\ln \left( 2 \right) + 1}} + C}} [/tex]

Metode 3. Mykje det sama som din, men ingen substitusjon. Eller det er en substitusjon, men vi skriver den ikke...
[tex]\int {{2^x}{e^x}dx} \,=\, \int {{e^{\ln \left( {{2^x}} \right)}}{e^x}} dx = \int {{e^{x\ln 2 + x}}dx} \,=\, \int {{e^{x\left( {1 + \ln 2} \right)}}dx} \,=\, \frac{1}{{1 + \ln \left( 2 \right)}}{e^x}{e^{x\ln 2}} \,=\, \underline{\underline {\frac{{{e^x}{2^x}}}{{1 + \ln \left( 2 \right)}} + C}} [/tex]

Digger metoden din og, fint å se ting fra flere sider.

[Nebuchadnezzar]

Skal se på \sqrt[3]{\tan(x)} nå... Har litt tid å slå ihjel. Fremføring gikk fint og fredag er evigheter til.

To integral som jeg syntes er artige.

[tex] \int {{e^{{x^2}}} + 2{x^2}{e^{{x^2}}}dx} [/tex]

[tex] \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {\frac{{1 - \cos {{\left( {2x} \right)}^2}}}{4}} } dx [/tex]

Begge krever en del jobb om man ikke ser den smarte løsningen. Og det ene lette integralet på forrige side det med \sqrt{1+cos(x)} tenke jeg helt feil på, det er ikke noe lett overhodet. Integralet jeg mente å skrive er skrevet over.

Beklager om noen trodde at det forrige integralet var lett...