Differenslikning

[drberg]

Hei,

Jeg sliter med en oppgave fra Mathema (6.3.8 d))

Har brukt alt for mange timer på denne uten at jeg får den til... Håper en eller annen snill sjel kan hjelpe meg med denne - på tide at jeg kan gå over til en annen oppgave nå..

Oppgaven er som følger:
6.3.8 Løs hver differenslikning
d) y[sub]n[/sub] - 2y[sub]n - 1[/sub] + 2y[sub]n - 2[/sub] = 6n

Det jeg har regnet meg fram til er:

y[sub]n[/sub][sup]h[/sup] = A + Bn

y[sub]n[/sub][sup]p[/sup]:
6n har jeg satt til (Kn + L)n[sup]2[/sup] slik at den ikke er av samme grad som homogen løsning (slik jeg har forstått det)

Ved utregning fikk jeg denne likningen: 6K(n - 1) + 2L = 6n
Som jeg regnet ut til å bli
K = n / (n - 1)
L = 0

Satt inn i original likning fikk jeg
y[sub]n[/sub][sup]p[/sup] = n[sup]4[/sup] / (n-1)

Som videre gir at svaret blir
y[sub]n[/sub] = A + Bn + n[sup]4[/sup] / (n - 1)

Dette er ikke korrekt i følge fasit: y[sub]n[/sub] = A + Bn + n[sup]3[/sup] + 3n[sup]2[/sup]


Hva i all verden er det jeg gjør feil her?


PS: jeg skrev om det som stod i fasit til å passe slik jeg skriver tallene. Det som står i fasit er:
y[sub]n[/sub] = n[sup]3[/sup] + 3n[sup]2[/sup] + Cn + D

[Janhaa]

Hei,
Jeg sliter med en oppgave fra Mathema (6.3.8 d))
Har brukt alt for mange timer på denne uten at jeg får den til... Håper en eller annen snill sjel kan hjelpe meg med denne - på tide at jeg kan gå over til en annen oppgave nå..
Oppgaven er som følger:
6.3.8 Løs hver differenslikning
d) y[sub]n[/sub] - 2y[sub]n - 1[/sub] + 2y[sub]n - 2[/sub] = 6n

d) y[sub]n[/sub] - 2y[sub]n - 1[/sub] + 2y[sub]n - 2[/sub] =0
når den karaktersike likninga settes opp, blir jo dette komplekse løsninger?

[Markonan]

Ja, synes også det var litt rart.

Og når jeg setter inn fasitløsningen i differensligningen blir ikke det 6n.
Wolfram Alpha: http://tinyurl.com/3pwufd6

[drberg]

Oioi, beklager så mye.

Jeg har skrevet feil i hast (måtte springe på jobb).

Oppgaven er: y[sub]n[/sub] - 2y[sub]n - 1[/sub] + y[sub]n - 2[/sub] = 6n


Beklager feile opplysninger. Håper dere kan gjøre et nytt forsøk på å hjelpe meg

[Markonan]

Du har i hvert fall funnet riktig homogene løsning.

6n har jeg satt til (Kn + L)n[sup]2[/sup] slik at den ikke er av samme grad som homogen løsning (slik jeg har forstått det)

Når du finner en partikulærløsning, så er det første du prøver å sette det som et polynom av samme grad som funksjonen i differensligningen. Hvis du gjør det her, så ender du opp med en konstant, som ikke funker, og du må opp en grad. Fra fasiten ser vi at annengradspolynomet du prøver som partikulærløsning heller ikke fungerer og du må helt opp på et tredjegradspolynom.

Men, når du tester tredjegradspolynomet, så må du teste det fulle polynomet.
Dvs du tar kandidaten
[tex]y_n^p = An^3 + Bn^2 + Cn + D[/tex]
og setter dette inn i venstresiden av differensligningen, så velger du A,B,C og D slik at du får 6n. Det skal bli A=1 og B=3 og C=D=0.

Edit:
Wolfram Alpha utregning: http://tinyurl.com/3wpmwjn

Kanskje du faktisk kan gjøre det som du har prøvd, fordi med et fullstendig tredjegradspolynom blir det MYE jobb. De øvrige leddene forsvinner jo uansett. Hmm. Kan ikke huske å ha sett den metoden før i hvert fall. Skal se om jeg får tid til å se litt mer på denne etterpå.

[drberg]

Hei,

Der fikk jeg det endelig til takket være god veiledning!!

Er litt usikker på den partikulære løsningen i dette tilfellet: er dette en problemstilling som oppstår hovedsaklig når 2. gradslikningen har et entydig svar?

Jeg vet ikke om noen annen måte å løse slike oppgaver på, og kjenner jeg læreboka godt nok så er forfatteren ikke redd for å kaste bort tiden vår med tilsynelatende uskyldige stykker som ender opp med flere sider med mellomregning.

Hvis du finner en revolusjonerende måte å gjøre dette på så tar jeg i mot tips med åpne armer!

Takk igjen, hvis jeg hadde vært litt smartere så hadde jeg ikke sendt alle englene mine til Japan, men spart et par til deg