Finne matrisen til lineæravbildning

[Ostbågar]

Oppgaven er:

Lineæravbildningen [tex]T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3[/tex] er slik at alle punkter speiles gjennom planet [tex]x + y = 0[/tex].

Hva er matrisen til T?


Hvordan tenker man for å komme frem til svaret?

[espen180]

Første trinn er å velge en basis...

[FredrikM]

Som espen180 sier, så kan du ikke lage en matrise for T uten å ha valgt en basis for vektorrommene dine først.

Vi kan anta oppgaven mener du skal bruke standardbasisen for [tex]\mathbb{R}^3[/tex], nemlig enhetsvektorene [tex](1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)[/tex].

En lineæravbildning bestemmes av hva som skjer med basisvektorene, og "effekten" er kolonnene i matrisen.

[Ostbågar]

Kan dere forklare hvorfor riktig svar er:

[tex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]


og at riktig svar ikke er:

[tex]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\0 & -1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex]

som er et av de andre svaralternativene

[espen180]

En strategi for å bestemme matrisen til en lineæravbildning er å ta en tilfeldig vektor fra domenet og se hva som kommer ut i bildet. I dette tilfellet kan du gjøre dette ved å se hva som skjer med en tilfeldig valgt vektor [tex]v=(a,b,c)\in\mathbb{R}^3[/tex]. Vi sier at [tex]T(v)=w[/tex]. Siden domenet og codomenet er damme rom her, kan vi anta at basisene er like, og du behøver da bare å finne matrisen [tex]A[/tex] slik at [tex]Av=w[/tex].

Nå har du vel alt du trenger for å løse oppgaven.

[FredrikM]

Se hva som skjer med basisvektorene.

Hva skjer med (1,0,0)? (prøv å tegne hva som skjer, om det er vanskelig å visualisere)

En visualisering gir at [tex](1,0,0) \mapsto (0,-1,0)[/tex], og dette er første kolonne i matrisen.

På samme måte ser vi at [tex](0,1,0) \mapsto (-1,0,0)[/tex] og [tex](0,0,1) \mapsto (0,0,1)[/tex] siden speiling om planet [tex]x+y=+[/tex] ikke endrer z-koordinater. Dermed blir matrisen
[tex]\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/tex]