La [tex]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] være en riemannintegrerbar (på alle intervaller) funksjon slik at prinsipialverdien [tex]\lim_{r \to \infty} \int^r_{-r}f(x) dx[/tex] eksisterer. Vis at det finnes en riemannintegrerbar (på alle intervaller) funksjon [tex]h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] slik at
1) det uekte integralet [tex]\int^{\infty}_{-\infty} h(x) dx[/tex] eksisterer, og
2) [tex]\lim_{r \to \infty} \int^r_{-r}f(x) dx = \int^{\infty}_{-\infty} h(x) dx[/tex]
Prinsipialverdi og uekte integral
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Med forbehold om ekstrem trøtthet+influensa:
Lar funksjonen h være gitt ved
[tex]h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}[/tex].
[tex]\lim_{b\to\infty}\int_a^b h(x)\,dx[/tex] eksisterer da siden
[tex]\lim_{b\to\infty}\int_a^b h(x)\,dx=\frac12\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)+f(-x)\,dx=\frac12\lim_{b\to\infty}\left (\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b f(-x)\,dx\right )\\=\frac12\lim_{b\to\infty}\left (\int_a^b f(x)\,dx+\int_{-b}^{-a} f(x)\,dx\right )=\frac12\lim_{b\to\infty}\left (\int_{-b}^b f(x)\,dx-\int_{-a}^{a} f(x)\,dx\right )\\=\frac12\lim_{b\to\infty}\int_{-b}^b f(x)\,dx-\frac12\int_{-a}^{a} f(x)\,dx[/tex]
Det siste eksisterer av antagelse.
Tar vi så grensen [tex]\lim_{a\to -\infty}\left (\frac12\lim_{b\to\infty}\int_{-b}^b f(x)\,dx-\frac12\int_{-a}^{a} f(x)\,dx \right )= \lim_{r\to\infty}\int_{-r}^r f(x)\,dx[/tex], og vi er ferdig.
Lar funksjonen h være gitt ved
[tex]h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}[/tex].
[tex]\lim_{b\to\infty}\int_a^b h(x)\,dx[/tex] eksisterer da siden
[tex]\lim_{b\to\infty}\int_a^b h(x)\,dx=\frac12\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)+f(-x)\,dx=\frac12\lim_{b\to\infty}\left (\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b f(-x)\,dx\right )\\=\frac12\lim_{b\to\infty}\left (\int_a^b f(x)\,dx+\int_{-b}^{-a} f(x)\,dx\right )=\frac12\lim_{b\to\infty}\left (\int_{-b}^b f(x)\,dx-\int_{-a}^{a} f(x)\,dx\right )\\=\frac12\lim_{b\to\infty}\int_{-b}^b f(x)\,dx-\frac12\int_{-a}^{a} f(x)\,dx[/tex]
Det siste eksisterer av antagelse.
Tar vi så grensen [tex]\lim_{a\to -\infty}\left (\frac12\lim_{b\to\infty}\int_{-b}^b f(x)\,dx-\frac12\int_{-a}^{a} f(x)\,dx \right )= \lim_{r\to\infty}\int_{-r}^r f(x)\,dx[/tex], og vi er ferdig.