La [tex]T : \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[/tex] være en lineær avbilding fra vektorrommet av reelle polynomer til vektorrommet av reelle tall slik at hvis T(fg)=0, så er T(f) = 0 eller T(g) = 0. Vis at T(f) = cf(k) for to reelle konstanter k og c.
EDIT: T(x) skulle være T(f)
Lineær avbildning
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Dette ble dessverre litt rotete:
Definer [tex]T(1)=c[/tex]. Anta først at [tex]c \not = 0[/tex]. Deler vi på en konstant kan vi da anta [tex]c=1[/tex]. Sett så [tex]T(x)=d[/tex]. Anta også her at [tex]d \not = 0[/tex]. Vi viser ved induksjon at [tex]T(x^n)=d^n[/tex]. Dette stemmer trivielt for [tex]n=0, 1[/tex]. Anta [tex]T(x^n)=e[/tex]. Da har vi [tex]T(x^n)-\frac e {d^{n-1}} T(x^{n-1})=0[/tex], eller [tex]T(x^{n-1}(x- \frac e {d^{n-1}})=0[/tex]. Siden [tex]T(x^{n-1}) \not = 0[/tex] gir dette at [tex]T(x- \frac e {d^{n-1}})=0[/tex], som gir [tex]e=d^n[/tex].
Så ser vi på tilfellet [tex]c \not = d = 0[/tex]. Anta at det finnes en [tex]k[/tex] slik at [tex]T(x^k)=e \not = 0[/tex], det vil si [tex]T(x^k-e)=0[/tex]. Hvis [tex]e>0[/tex] har vi [tex]x^k-e=(x-e^{\frac 1 k})(x^{k-1} + \ldots + e^{\frac {k-1} k})[/tex], og da [tex]T(x^i)=0[/tex] for [tex]0<i<k[/tex] får vi en motsigelse, da begge disse polynomene har bilder forskjellige fra null. Hvis [tex]e<0[/tex] og [tex]k[/tex] er odde kan vi bruke det samme argumentet, og om [tex]e<0[/tex] og [tex]k=2K[/tex] har vi [tex]T(x^k-e)=T(x^{2K}+2\sqrt {-e} x^K + (-e))=T((x^K+\sqrt{-e})^2)\not = 0[/tex], og vi får igjen en motsigelse. Altså er [tex]T(x^k)=0=0^k[/tex] for alle [tex]k>0[/tex].
Vi står da kun igjen med tilfellet [tex]c=0[/tex]. Anta at [tex]T(x^i)[/tex] ikke er null for alle [tex]i[/tex], og velg [tex]k[/tex] minimal slik at [tex]T(x^k)=d \not = 0[/tex]. Ved å dele på en konstant (vi har her ikke 'gjort dette' med [tex]c[/tex] siden denne er null) kan vi anta [tex]d=1[/tex]. Sett så [tex]T(x^{2k})=e=eT(x^k)=T(ex^k)[/tex]. Vi har da [tex]T(x^k(x^k-e))=0[/tex], men [tex]T(x^k)=T(x^k-e)\not =0[/tex] og en motsigelse. Altså er [tex]T(x^k)[/tex]=0 for alle [tex]k \geq 0[/tex].
I alle tilfellene har vi vist at [tex]T[/tex] må ta 'riktige verdier' (det vil si verdier konsistente med at [tex]T(f)=cf(k)[/tex] for konstanter [tex]c,k[/tex]) på leddene [tex]x^i[/tex] for alle [tex]i \geq 0[/tex]. Siden disse utspenner vektorrommet av reelle polynomer og [tex]T[/tex] er en lineæravbildning viser dette at [tex]T[/tex] tar riktige verdier overalt, så vi er ferdige.
Definer [tex]T(1)=c[/tex]. Anta først at [tex]c \not = 0[/tex]. Deler vi på en konstant kan vi da anta [tex]c=1[/tex]. Sett så [tex]T(x)=d[/tex]. Anta også her at [tex]d \not = 0[/tex]. Vi viser ved induksjon at [tex]T(x^n)=d^n[/tex]. Dette stemmer trivielt for [tex]n=0, 1[/tex]. Anta [tex]T(x^n)=e[/tex]. Da har vi [tex]T(x^n)-\frac e {d^{n-1}} T(x^{n-1})=0[/tex], eller [tex]T(x^{n-1}(x- \frac e {d^{n-1}})=0[/tex]. Siden [tex]T(x^{n-1}) \not = 0[/tex] gir dette at [tex]T(x- \frac e {d^{n-1}})=0[/tex], som gir [tex]e=d^n[/tex].
Så ser vi på tilfellet [tex]c \not = d = 0[/tex]. Anta at det finnes en [tex]k[/tex] slik at [tex]T(x^k)=e \not = 0[/tex], det vil si [tex]T(x^k-e)=0[/tex]. Hvis [tex]e>0[/tex] har vi [tex]x^k-e=(x-e^{\frac 1 k})(x^{k-1} + \ldots + e^{\frac {k-1} k})[/tex], og da [tex]T(x^i)=0[/tex] for [tex]0<i<k[/tex] får vi en motsigelse, da begge disse polynomene har bilder forskjellige fra null. Hvis [tex]e<0[/tex] og [tex]k[/tex] er odde kan vi bruke det samme argumentet, og om [tex]e<0[/tex] og [tex]k=2K[/tex] har vi [tex]T(x^k-e)=T(x^{2K}+2\sqrt {-e} x^K + (-e))=T((x^K+\sqrt{-e})^2)\not = 0[/tex], og vi får igjen en motsigelse. Altså er [tex]T(x^k)=0=0^k[/tex] for alle [tex]k>0[/tex].
Vi står da kun igjen med tilfellet [tex]c=0[/tex]. Anta at [tex]T(x^i)[/tex] ikke er null for alle [tex]i[/tex], og velg [tex]k[/tex] minimal slik at [tex]T(x^k)=d \not = 0[/tex]. Ved å dele på en konstant (vi har her ikke 'gjort dette' med [tex]c[/tex] siden denne er null) kan vi anta [tex]d=1[/tex]. Sett så [tex]T(x^{2k})=e=eT(x^k)=T(ex^k)[/tex]. Vi har da [tex]T(x^k(x^k-e))=0[/tex], men [tex]T(x^k)=T(x^k-e)\not =0[/tex] og en motsigelse. Altså er [tex]T(x^k)[/tex]=0 for alle [tex]k \geq 0[/tex].
I alle tilfellene har vi vist at [tex]T[/tex] må ta 'riktige verdier' (det vil si verdier konsistente med at [tex]T(f)=cf(k)[/tex] for konstanter [tex]c,k[/tex]) på leddene [tex]x^i[/tex] for alle [tex]i \geq 0[/tex]. Siden disse utspenner vektorrommet av reelle polynomer og [tex]T[/tex] er en lineæravbildning viser dette at [tex]T[/tex] tar riktige verdier overalt, så vi er ferdige.