Hei, er helt ny her inne.
Har en oppgave der jeg skal avgjøre om en funksjon er riemannintegrerbar på intervallet [0,1]:
f(x)= 1 når x=0
x når x element i (0,1)
0 når x=1
jeg syns det er vanskelig å vite hva jeg skal velge som epsilon og hvor mange og hvilke partisjoner jeg trenger. intuitivt TROR jeg at den ikke er riemannintegrerbar, men hvordan kan jeg vise dette. Hvis antagelsen min er helt feil håper jeg noen leder meg i riktig retning:)
avgjøre om funksjoner er riemannintegrerbare
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Velkommen til forumet!
For å vise at den er riemannintegrerbar, prøv å dele opp i intervaller [0,1/n], [1/n,2/n], [2/n,3/n], ... , [(n-1)/n,1], og finn den øvre og nedre trapessummene. Hva blir de øvre og nedre grensene når n går mot uendelig? Hvis de er like er jo funksjonen riemannintegrerbar, og riemannintegralet lik denne grensen.
Intuitivt vil området under en kontinuerlig funksjon ikke forandres hvis du bare forandrer et endelig antall punkter. I dette tilfellet har vi forandret funksjonen g(x) = x ved å gi andre verdier i x=0 og x=1, så ved å tegne opp ser du jo at området under f(x) bør forbli det samme som området under g(x).
Faktisk er det slik at en funksjon er riemannintegrerbar på et område dersom den er kontinuerlig "nesten" overalt. Hva som menes med "nesten" overalt betyr at mengden av diskontinuiteter er inneholdt i en lebesgue-null-mengde. Spesielt er alle endelige mengder lebesgue-null-mengder, så siden funksjonen din er kontinuerlig overalt utenom i 0 og 1 er den riemannintegrerbar.
Hva mener du med epsilon? Skulle du bestemme om funksjonen er kontinuerlig også?
For å vise at den er riemannintegrerbar, prøv å dele opp i intervaller [0,1/n], [1/n,2/n], [2/n,3/n], ... , [(n-1)/n,1], og finn den øvre og nedre trapessummene. Hva blir de øvre og nedre grensene når n går mot uendelig? Hvis de er like er jo funksjonen riemannintegrerbar, og riemannintegralet lik denne grensen.
Intuitivt vil området under en kontinuerlig funksjon ikke forandres hvis du bare forandrer et endelig antall punkter. I dette tilfellet har vi forandret funksjonen g(x) = x ved å gi andre verdier i x=0 og x=1, så ved å tegne opp ser du jo at området under f(x) bør forbli det samme som området under g(x).
Faktisk er det slik at en funksjon er riemannintegrerbar på et område dersom den er kontinuerlig "nesten" overalt. Hva som menes med "nesten" overalt betyr at mengden av diskontinuiteter er inneholdt i en lebesgue-null-mengde. Spesielt er alle endelige mengder lebesgue-null-mengder, så siden funksjonen din er kontinuerlig overalt utenom i 0 og 1 er den riemannintegrerbar.
Hva mener du med epsilon? Skulle du bestemme om funksjonen er kontinuerlig også?
Tusen takk for svar, har vært vant med at det har blitt gjort litt annerledes, men skjønner nå at den er så lite diskontinuerlig at det ikke vil ha betydning.
På foreleseningene og i boken brukes epsilonkriteriet: f integrerbar på [a,b] ekvivalent med til enhver epsilon >0 finnes partisjonP slik at
U(f,P)-L(f,P)<epsilon
Jeg har prøvd litt på oppgaven:
Gitt epsilon>0, vil finne P slik at U(f,P)-L(f,P)<epsilon
Lar P={0, 0+epsilon`, 1-epsilon`, 1} der vi ikke vet hva epsilon`er
3 delintervaller med bredde:
epsilon`, 1-2epsilon`, epsilon`
U(f,P)= 1*e`+ x(1-2e`) + x*e`
= e`+ x - 2xe`+ xe`
= e`+ x - xe`
L(f,P)= x*e`+ x(1-2e`) + 0*e`
= -xe`+x
U(f,P)-L(f,P) = e`
e`= 1/2e < e
dette medfører at f(x) på intervallet [0,1] er riemannintegrerbar.
Har jeg gjort dette riktig? er litt usikker...
Hvis funksjonen var riemannintegrerbar skulle jeg ta integralet fra 0 til 1. dette har jeg fått til å bli x, høres dette riktig ut?
På foreleseningene og i boken brukes epsilonkriteriet: f integrerbar på [a,b] ekvivalent med til enhver epsilon >0 finnes partisjonP slik at
U(f,P)-L(f,P)<epsilon
Jeg har prøvd litt på oppgaven:
Gitt epsilon>0, vil finne P slik at U(f,P)-L(f,P)<epsilon
Lar P={0, 0+epsilon`, 1-epsilon`, 1} der vi ikke vet hva epsilon`er
3 delintervaller med bredde:
epsilon`, 1-2epsilon`, epsilon`
U(f,P)= 1*e`+ x(1-2e`) + x*e`
= e`+ x - 2xe`+ xe`
= e`+ x - xe`
L(f,P)= x*e`+ x(1-2e`) + 0*e`
= -xe`+x
U(f,P)-L(f,P) = e`
e`= 1/2e < e
dette medfører at f(x) på intervallet [0,1] er riemannintegrerbar.
Har jeg gjort dette riktig? er litt usikker...
Hvis funksjonen var riemannintegrerbar skulle jeg ta integralet fra 0 til 1. dette har jeg fått til å bli x, høres dette riktig ut?
Husk at U(f,P) er den øvre trappesummen for de tre intervallene. Hva er x i dine beregninger? Som du ser hvis du tegner de øvre og nedre trappene så vil de være svært forskjellige for din partisjon av intervallet. Du må nok danne en finere partisjon som deler intervallet opp mer homogent.Silje90 wrote:
U(f,P)= 1*e`+ x(1-2e`) + x*e`
= e`+ x - 2xe`+ xe`
= e`+ x - xe`
L(f,P)= x*e`+ x(1-2e`) + 0*e`
= -xe`+x
U(f,P)-L(f,P) = e`
e`= 1/2e < e
Jeg foreslår at du velger en epsilon, og finner en n stor nok slik at {0,1/n,2/n,...,(n-1)/n,1} er en partisjon som gjør nedre og øvre trappesum tilstrekkelig nær hverandre.