La [tex]\prod_{n=1}^{1996} (n+x^{3^n})=a_0+a_1x^{k_1}+a_2x^{k_2}+...+a_mx^{k_m} \,,\, k_1<k_2<...<k_m[/tex]
Finn [tex]a_{1996}[/tex].
Polynomkoeffesienter
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ganske kjapp i vendingen her, men tror det skal være noe slikt:
Hvis vi lar [tex]f(m) = \prod^{m}(n+x^{3^n})[/tex], ser vi at den største eksponenten vil være [tex]1+3+...+3^m=\frac{3}{2}(3^{m}-1)<3^{m+1}[/tex], så vi får at [tex]f(m) = mf(m-1)+f(m-1)x^{3^{m}}[/tex], der de to leddene ikke har noen felles koeffisienter som et polynom. f(m) har også derfor også 2^m ledd som et polynom. Ledd nr k kan bli betraktet som førskjøvet 2^m "hakk" hvis vi multipliserer med [tex]x^{3^{m+1}}[/tex], og stillestående når vi multipliserer med m. Siden 1996 = 11111001100 i 2-tallssystemet, vil ledd 1996 i f(11) (ved å se når vi forskyver, merk at vi begynner på n = 1 ) være 2*1*1*5*6*1*1*1*1*1 = 60, og dermed i f(1996) vil det være 60 * 12*13*...*1996 =
[tex] 60 \cdot \frac{1996!}{11!} = \frac{1996!}{11!/60} =\frac{1996!}{665280} [/tex].
En liknende oppgave har blitt løst her før: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=17627
Det er en klar sammenheng mellom de to svarene her.
Hvis vi lar [tex]f(m) = \prod^{m}(n+x^{3^n})[/tex], ser vi at den største eksponenten vil være [tex]1+3+...+3^m=\frac{3}{2}(3^{m}-1)<3^{m+1}[/tex], så vi får at [tex]f(m) = mf(m-1)+f(m-1)x^{3^{m}}[/tex], der de to leddene ikke har noen felles koeffisienter som et polynom. f(m) har også derfor også 2^m ledd som et polynom. Ledd nr k kan bli betraktet som førskjøvet 2^m "hakk" hvis vi multipliserer med [tex]x^{3^{m+1}}[/tex], og stillestående når vi multipliserer med m. Siden 1996 = 11111001100 i 2-tallssystemet, vil ledd 1996 i f(11) (ved å se når vi forskyver, merk at vi begynner på n = 1 ) være 2*1*1*5*6*1*1*1*1*1 = 60, og dermed i f(1996) vil det være 60 * 12*13*...*1996 =
[tex] 60 \cdot \frac{1996!}{11!} = \frac{1996!}{11!/60} =\frac{1996!}{665280} [/tex].
En liknende oppgave har blitt løst her før: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=17627
Det er en klar sammenheng mellom de to svarene her.
Her er mitt løsningsforslag. Det er identisk med ditt i alle vesentlige punkter.
Produktet er gitt ved [tex](1+x^{3^1})(2+x^{3^2})...(1996+x^{3^1996})=p_1p_2...p_n[/tex]
Merk at eksponentene vil være (i økende rekkefølge) 3, 9, 3+9, 27, 3+27, 9+27, 3+9+27, 81, osv...
Ettersom [tex]3^n>\sum_{k=1}^{n-1}3^k[/tex], vil det kn være én måte å lage hver eksponent på, og dermed posisjonen til enhver eksponent vil kunne bestemmes ved å skrive eksponenten i 3-tallssystemet og lese av i 2-tallssystemet. Inversen er også sann. Hvis vi velger å se på [tex]m[/tex]-te ledd i følgen, vil eksponenten til x-en i dette leddet finnes ved å skrive [tex]m[/tex] i 2-tallssystemet og lese av i 3-tallssystemet, men viktigere enn det er at ved å skrive [tex]m[/tex] i 2-tallsystemet kan vi lese av hvilke faktorer i produktet eksponenten er hentet fra.
Fra produktet ser vi at koeffesienten til ethvert ledd er gitt ved [tex]\frac{1996!}{q_1q_2...q_m}[/tex], der q-ene er konstantleddene i faktorene som utgjør eksponenten. 1996=[11111001100][sub]2[/sub], så [tex]a_{1996}=\frac{1996!}{3\cdot 4\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11}=60\frac{1996!}{11!}[/tex]
Jeg har et spørsmål til løsingen din. Hva får du ut av betraktningene du gjør på f(m)?
Produktet er gitt ved [tex](1+x^{3^1})(2+x^{3^2})...(1996+x^{3^1996})=p_1p_2...p_n[/tex]
Merk at eksponentene vil være (i økende rekkefølge) 3, 9, 3+9, 27, 3+27, 9+27, 3+9+27, 81, osv...
Ettersom [tex]3^n>\sum_{k=1}^{n-1}3^k[/tex], vil det kn være én måte å lage hver eksponent på, og dermed posisjonen til enhver eksponent vil kunne bestemmes ved å skrive eksponenten i 3-tallssystemet og lese av i 2-tallssystemet. Inversen er også sann. Hvis vi velger å se på [tex]m[/tex]-te ledd i følgen, vil eksponenten til x-en i dette leddet finnes ved å skrive [tex]m[/tex] i 2-tallssystemet og lese av i 3-tallssystemet, men viktigere enn det er at ved å skrive [tex]m[/tex] i 2-tallsystemet kan vi lese av hvilke faktorer i produktet eksponenten er hentet fra.
Fra produktet ser vi at koeffesienten til ethvert ledd er gitt ved [tex]\frac{1996!}{q_1q_2...q_m}[/tex], der q-ene er konstantleddene i faktorene som utgjør eksponenten. 1996=[11111001100][sub]2[/sub], så [tex]a_{1996}=\frac{1996!}{3\cdot 4\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11}=60\frac{1996!}{11!}[/tex]
Jeg har et spørsmål til løsingen din. Hva får du ut av betraktningene du gjør på f(m)?