Parameter- og linjeframstilling i rommet

[Annika]

Hei!
Jeg lurer på en oppgave, og håper noen kan hjelpe meg:)

a) Finn en parameterframstilling for planet α gitt ved
α: x+y+2z-4=0

b) Finn en likningsframstilling for linja l, der
[tex]\vec{r}[/tex](t) = [1+t, 2-3t, -1+2t]

[Vektormannen]

a) For å lage en parameterframstilling for et plan trenger du et punkt du vet ligger i planet og to ikke-parallelle vektorer som ligger i planet. For å finne to slike vektorer trenger du i alt tre punkter i planet. Kan du finne det?

b) Jeg vet ikke hvordan du er vant med å sette opp ligninger for linjer, men du kan la r-vektoren være [x,y,z]. Da får du at x = 1+t som gir at t = x-1. Da kan du bytte ut t med dette i de to andre ligningene. Da ser du kanskje hva du kan gjøre etterpå?

[mstud]

Hva er neste trinn i oppg. b) når man har funnet at y=1-3x og z=2x-3 ?

[Vektormannen]

Det ser ut som jeg har forklart litt feil i den posten der.

Det du har funnet der fungerer fint som en fremstilling av linja når x ikke er 0, men "standardfremstillingen" er noe på formen [tex]\frac{x-a}{A} = \frac{y-b}{B} = \frac{z-c}{C}[/tex]. Den får du ikke ved å følge det jeg skreiv over. Beklager.

Den "vanlige" fremstillingen finner du ved å finne et uttrykk for parameteren t i hver av komponentligningene. Siden t er samme parameter i alle, kan du sette disse uttrykkene like hverandre. Du løser altså for t i x-, y-, og z-ligningene, og setter så disse uttrykkene for t like hverandre.

[mstud]

Det vil si at [tex]t=x-1=\frac{2-y}3=\frac{z-1}2[/tex], stemmer det?

[Vektormannen]

Det skal vel være z+1 i den siste der?

[mstud]

Ja,
det skulle vært [tex]t=x-1=\frac{2-y}3=\frac{z+1}2[/tex].

Hvordan bruke dette til å finne ligningen til planene som linjen er skjæringslinje mellom ?

[Vektormannen]

Det er uendelig mange plan som kan skjære hverandre langs den linja der. Har du noen flere opplysninger?

[mstud]

Det er ikke mer som er oppgitt i oppgaveteksten, men kan f.eks. finne at:

[tex]\vec{v}[/tex][sub]linje[/sub]=[1,-3,2]

Så må [tex]\vec{n}[/tex][sub]alpha[/sub] x [tex]\vec{n}[/tex][sub]beta[/sub]=[tex]\vec{v}[/tex][sub]linje[/sub]=[1,-3,2]

Hva hvis dene ene vektoren som spenner ut plan alpha er vinkelrett på [tex]\vec{v}[/tex][sub]linje[/sub]=[1,-3,2] mens den andre er parallell m. [1,-3,2], og tilsvarende for plan beta?
dvs. at plan alpha & beta (snurrer rundt) linjen. Er det noen måte å finne to "hvilke som helst" av disse planene? (siden det er det samme hvilke av disse vi finner, er det da mulig for å gjøre det litt enklere at den ene vektoren som spenner ut hvert plan er [tex]\vec{v}[/tex][sub]linje[/sub]=[1,-3,2] og ikke bare parallell med denne?

Vanskelig å forklare hva jeg mener uten figur, men jeg vet ikke hvordan jeg kan lage til en som går an å legge inn her.

Hva må mer må du vite for å finne to slike plan enn det vi vet?

"Det sikreste" jeg har er at fasiten i boken sier at linjen er skjæringslinje mellom f.eks. disse to planene:

x-3y-5z=0 og 3x+y-5=0

[mstud]

Hvordan er det mulig/hva trenger man for å komme fram til svaret i fasiten?

[Vektormannen]

Hva står det i oppgaveteksten? Er alfa et av skjæringsplanene?

[mstud]

Jeg bare kalte det ene skjæringsplanet for alfa & det andre beta, men det har ikke noe med alfa i a) i oppgaven på toppen av dette innlegget å gjøre.

Oppgaven er å skrive ligningsframstilllingen for l som et ligningssett som gir skjæringen mellom to plan.

Der linjen l har [tex]\vec{r}[/tex](t) = [1+t, 2-3t, -1+2t].

dvs. jeg skal finne ligningssettet for skjæringen mellom planene. (kanskje ikke akkurat ligningen for planene som jeg skrev tidligere)

[Vektormannen]

Det du trenger er et punkt og, og så to normalvektorer til hvert av planene.

Tenk deg at du har linjen der, og så skal "plassere" planene. Du vet at planet i alle fall skal inneholde linja. Da kan du finne deg én vektor som er parallell med planet. Så trenger du en til for å bestemme planet entydig. Men det er ingen krav om denne andre vektoren (som du sa ovenfor vil du bare rotere planet rundt linja.) Det betyr at du kan velge deg et hvilket som helst annet punkt -- som ikke er på linja -- som du vil at planet skal gå gjennom. Vektoren mellom dette punktet og et punkt på linja vil da være den andre vektoren du trenger for å bestemme normalvektoren til planet.

Det samme kan du gjøre for å bestemme det andre planet.

[mstud]

Da får jeg prøve det og se hva det blir.

Ser ut for at jeg fikk den til nå.