Komplekst integral

[Betelgeuse]

Hei, jeg står fast på et integral her og trenger litt hjelp til å komme igang.
Jeg skal bestemme prinsipalverdien til

[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos {(\pi x)}}{1 - 4x^2} dx = Re \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^ {(i\pi x)}}{1 - 4x^2} dx[/tex]

jeg omformer så dette til et kompleks integral om en kurve C

[tex]\oint_C \frac{e^{i\pi z}}{1 - 4z^2} dz[/tex].

Problemet nå er hvilken kontur jeg skal velge. Begge singularitetene ligger på den reelle aksen så jeg tenker at en standard halvmåne kontur ikke er et alternativ. Jeg så litt på en nøkkelhull-kontur, men problemet mitt da er at eksponenten divergerer for negative y siden [tex] |e^{i\pi (x + iy)}| = |e^{-\pi y + ix}| = e^{-\pi y}[/tex].

Lurer muliges om det er noe jeg har missforstått med 'prinsipalverdien' av et integral også. Slik jeg har forstått det til nå er det bare det at så lenge integralet konvergerer i grensen hvor |x| går mot uendelig, så kaller vi dette prinsipalverdien.

Setter stor pris på hjelp.

[Gustav]

Å finne prinsipalverdien betyr at du skal integrere i en liten halvsirkel rundt singularitetene på den reelle aksen.

Du kan bruke en litt "modifisert" versjon av Jordans lemma, der du integrerer langs hele den reelle aksen bortsett fra en liten halvsirkel rundt hver av singularitetene.