Determinant

[Jo]

Trenger hjelp til denne,

Bruk determinanter til å vise at for alle reelle verdier av λ, er den eneste løsningen av likningen

x - 2y = λx
x - y = λy

er x=0, y=0

[ingentingg]

vis at determinanten er ulik null da er den og invertibel. Så er det bare å sjekke Invers Matrise Teoremet.

Da får du svar på oppgaven.

[Moa]

Prøvde, men jeg får det ikke helt til.
Er det teoremet "If A is an invertible n x n matrix, then for each n x 1 matrix b, the system of equations Ax=b has exactly one solution, namely x = A^-1 * b" Er det det du mener?

[Gjest]

Likningssystemet kan omformes til

(λ-1)x + 2y = 0
-x + (λ+1)y = 0

der koeffisientmatrisa har determinant (λ-1)(λ+1) - (2)(-1) = λ[sup]2[/sup]+1 >=1 for alle reelle tall λ. Herav følger det at likningssystemet ovenfor kun har en løsning (x=y=0) for alle reelle verdier av λ.

[Jo]

Skjønner at determinanten blir λ^2 +1, men hva mener du med >=1 ?
Jeg skjønner heller ikke hvordan du trekker konklusjonen at x=y=0. Beklager

[Gjest]

Dette likningssystemet har kun den trivielle løsning x=y=0 dersom determinanten (λ[sup]2[/sup]+1) er forskjellig fra 0. Men det må den være i.o.m. at λ[sup]2[/sup]>=0 når λ er et reelt tall, hvilket betyr at determinanten λ[sup]2[/sup]+1 >= 1 + 0 = 1.

Alternativt kan man sette determinanten lik 0. Da får vi likningen λ[sup]2[/sup] = -1 som ikke har noen reelle løsninger.

[Jo]

Takker, nå skjønner jeg.